Как проверить неотрицательность матрицы плотности?

На компьютере (и, вероятно, также на бумаге для матрицы без особой структуры) самым быстрым решением будет вычислить факторизацию Холецкого и посмотреть, не сработает ли процедура. В конце концов, это частный случай критерия в ответе QMechanic, поскольку вы строите факторизацию$\rho = BB^\dagger$. (Вы можете заменить его факторизацией LDL^T, чтобы избежать квадратных корней.)

В некоторых случаях, если матрица имеет специальную структуру, может быть проще вычислить определители и проверить критерий Сильвестра, как это предлагает AccidentalFourierTransform.

Неотрицательный (также известный как полуположительный ) оператор$^{1}$ $\rho:H\to H$удовлетворяет по определению

$$\forall v\in H: \langle v, \rho v \rangle ~\geq~ 0. \tag{1}$$

Для комплексного гильбертова пространства оператор$\rho$является полуположительным тогда и только тогда, когда

$$\exists B: ~~ \rho~=~B^{\dagger} B, \tag{2}$$ и если $$\rho \text{ is diagonalizable in an orthonormal basis with non-negative eigenvalues.} \tag{3}$$

Характеристики (1) и (2) часто проще использовать, чем определение спектра/собственных значений (3).

---

$^{1}$В этом ответе мы будем игнорировать тонкости с неограниченными операторами , доменами, самосопряженными расширениями и т.д.