Зависимость оператора смещения от времени

Я слежу за выводом основного уравнения (и его применением) в этих конспектах лекций . К сожалению, я не выполняю шаг по устранению управляющих составляющих гармонического осциллятора (стр. 17, ур. 164).

Предположим, что у нас есть квантовая система, описанная в формализме оператора плотности в картине Шрёдингера с системным гамильтонианом (т.е. гармоническим осциллятором и когерентным двигателем):

$H = H_0 + H_D = \hbar \omega (\hat{a}^\dagger \hat{a} + 1/2) + \hbar f_0 (\hat{a} e^{i\omega_D t} + \hat{a}^\dagger e^{-i\omega_D t} )$

Определите оператор смещения как

$D(\alpha) = \exp(\alpha\hat{a}^\dagger - \alpha^* \hat{a})$

где$\hat{a}$является оператором уничтожения квантового гармонического осциллятора и$\alpha$является комплексным числом.

Если я хочу сделать унитарное преобразование$U=D(\alpha)$во вращающуюся рамку, то я считаю, что должен сделать это преобразование:

$A' = U^\dagger A U$

и из этого я должен быть в состоянии вывести новое основное уравнение для моей системы и т. д.

Но в конспектах лекций кажется, что они записывают новый гамильтониан в повернутой системе отсчета как (уравнение 164):

$\tilde{H} = U^\dagger H U + i\hbar \frac{\partial U^\dagger}{\partial t} U$

где$U=D(\alpha)$. Зачем включать второй член, если$D(\alpha)$не зависит от времени (мы находимся в картине Шрёдингера по уравнению 134)?

Если я как-то неправильно понял, и считается, что оператор смещения зависит от времени через что-то вроде$\alpha = \alpha_0 e^{i\omega_D t}$как можно справиться с этим, т.е. как показать, что$\tilde{H}$имеет вышеуказанную форму?

Подводя итог: как преобразовать в другой кадр, когда есть временная зависимость, такая, что$i\hbar \frac{\partial U}{\partial t} = HU(t)$не держит? (Из-за зависимости H от времени)

и

Почему предполагается, что$D(\alpha)$имеет ли эта временная зависимость в картине Шрёдингера?