Является ли частичная трасса циклической?

Question

Является ли частичная трасса циклической?

Жоао Браво

Я хочу знать, сохраняет ли частичная трассировка свойство цикличности трассы.

Частичная трассировка определяется как

т р_{Б} : Б_{1} ({ЧАС}_{А} \otimes {ЧАС}_{Б}) ⟶ Б_{1} ({ЧАС}_{А}) такой, что т р_{Б} [А \otimes Б] "=" т р [Б] А

$tr_B: \mathcal{B}_1(\mathcal{H}_A\otimes \mathcal{H}_B) \longrightarrow \mathcal{B}_1(\mathcal{H}_A) \\[3mm] \text{such that} \\[3mm] tr_B [A \otimes B] = tr[B] \ A$

Когда эта частичная трасса является циклической?

И могу ли я зациклить что-нибудь в примере $\ tr_B [(A_1 A_2 \otimes B_1 B_2) \ \rho_{AB}] \$ если $\rho_{AB}$ не является чистым (он же не может быть записан в виде тензорного произведения $\rho_{AB} = \rho_{A} \otimes \rho_{B}$ )?

Также, насколько я понимаю, полная трассировка циклична в каждой подсистеме (я так думаю). Поэтому:

т р [А Б С \otimes Д Е Ф] "=" т р [С А Б \otimes Д Е Ф] "=" т р [А Б С \otimes Е Ф Д]

$tr[A B C \otimes D E F] = tr[C A B \otimes D E F] = tr[A B C \otimes E F D]$

Это правильно?
Я полагаю, что мы можем представить каждый оператор $O_i=A,B,C$ как $(O_i \otimes \mathbb{I})$ и свободно переключать их, поскольку нам нужно только сохранить порядок в отношении каждой подсистемы.

Жоао Браво

Если я сделал какое-то неправильное утверждение, пожалуйста, поправьте меня!

Ответы (1)

Является ли частичная трасса циклической?

Если я сделал какое-то неправильное утверждение, пожалуйста, поправьте меня!

доэто · Answer 1

Ограничимся для простоты конечномерным случаем. В частичной трассировке вы можете циклически переставлять факторы в части, которую вы берете на себя, но не в другой части, как следует непосредственно из определения, которое вы дали:

{тр}_{Б} [А_{1} \otimes Б_{1}] "=" тр [Б_{1}] А_{1} .

$\operatorname{tr}_{B}[A_1 \otimes B_1]=\operatorname{tr}[B_1] A_1.$

Мы сразу видим, что

{тр}_{Б} [А_{1} \otimes Б_{1} Б_{2}] "=" тр [Б_{1} Б_{2}] А_{1} "=" тр [Б_{2} Б_{1}] А_{1} "=" {тр}_{Б} [А_{1} \otimes Б_{2} Б_{1}]

$\operatorname{tr}_{B}[A_1 \otimes B_1B_2] = \operatorname{tr}[B_1B_2] A_1 = \operatorname{tr}[B_2B_1] A_1 = \operatorname{tr}_{B}[A_1 \otimes B_2B_1]$

но как только $A_1A_2 \ne A_2A_1$ и $\operatorname{tr}[B_1] \ne 0$ , у нас есть

{тр}_{Б} [А_{1} А_{2} \otimes Б_{1}] "=" тр [Б_{1}] А_{1} А_{2} \neq тр [Б_{1}] А_{2} А_{1} "=" {тр}_{Б} [А_{2} А_{1} \otimes Б_{1}] .

$\operatorname{tr}_{B}[A_1A_2 \otimes B_1] = \operatorname{tr}[B_1] A_1A_2 \ne \operatorname{tr}[B_1] A_2A_1 = \operatorname{tr}_{B}[A_2A_1 \otimes B_1].$

Для полного следа тензорного произведения операторов имеем

тр [А \otimes Б] "=" тр [А] тр [Б]

$\operatorname{tr}[A \otimes B] = \operatorname{tr}[A]\operatorname{tr}[B]$

(см. Продукт Кронекера: абстрактные свойства под спектром ), поэтому в этом случае мы действительно можем выполнять все циклические перестановки факторов в каждой подсистеме, как вы заявили.

Ну конечно! Очень понятный ответ, спасибо :)
Однако один вопрос. В этом следе $т р_{Б} [(А_{1} \otimes Б_{1} Б_{2}) р_{А Б}]$ $tr_B [(A_1 \otimes B_1 B_2) \ \rho_{AB}]$ если $\rho_{AB}$ не является чистым (он же не может быть записан в виде тензорного произведения $\rho_{AB} =\rho_{A} \otimes \rho_{B}$ ), мы можем что-нибудь зациклить?
Единственное, что вы можете сделать (если я не ошибся), это ${тр}_{Б} [(А_{1} \otimes Б_{1} Б_{2}) р_{А Б}] "=" {тр}_{Б} [(А_{1} \otimes Б_{2}) р_{А Б} (я \otimes Б_{1})] .$ $\operatorname{tr}_B[(A_1\otimes B_1B_2)\rho_{AB}] = \operatorname{tr}_B[(A_1\otimes B_2)\rho_{AB}(I\otimes B_1)].$ Это можно увидеть, написав $\rho_{AB}$ как сумму чистых тензоров и используя линейность частичного следа.

Является ли частичная трасса циклической?

Жоао Браво

Жоао Браво

Ответы (1)

доэто

Жоао Браво

Жоао Браво

доэто

Жоао Браво

Как проверить неотрицательность матрицы плотности?

Как решить уравнение с частичной трассировкой?

Как происходит отслеживание физической операции?

Откуда мы знаем, что если эволюционирует только ρAρA\rho_A, то эволюция ρABρAB\rho_{AB} задается выражением (LA⊗1)(ρAB)(LA⊗1)(ρAB)(\mathcal{L}_A \ otimes 1)(\rho_{AB})?

Интуиция по положительно-операторным мерам (POVM)

Понимание матрицы плотности для чистых состояний по сравнению со смешанными состояниями

Нахождение матричного представления супероператора

Сумма двух матриц плотности: ρ=p1ρ1+p2ρ2ρ=p1ρ1+p2ρ2\rho=p_1\rho_1+p_2\rho_2

Максимально смешанное состояние находится в центре всех квантовых состояний.

Состав операторов сжатия?