Явное решение уравнения фон Неймана [закрыто]

Уравнение фон Неймана гласит:

$$\frac{d\rho}{dt} = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho]$$

Решение:

$$\rho(t)=U\rho U^{\dagger}$$ с $U=e^{-\frac{iHt}{\hbar}}$легко получается, если исходить из уравнения Шредингера, но я хочу получить тот же результат, исходя из уравнения фон Неймана.

Мой подход заключается в том, чтобы начать с интеграции обеих сторон:

$$\rho(t) = \rho_0-\frac{i}{\hbar}\int_0^t[H,\rho(\tau)]d\tau$$

Подстановка левой части в правую дает:

$$\rho(t) = \rho_0-\frac{i}{\hbar}\int_0^t[H,\rho_0-\frac{i}{\hbar}\int_0^t[H,\rho(\tau')]d\tau']d\tau$$

расширение:

$$\rho(t) = \rho_0-\frac{i}{\hbar}\int_0^t[H,\rho_0]+\frac{i}{\hbar}\int_0^t[H,\frac{i}{\hbar}\int_0^t[H,\rho(\tau')]d\tau']d\tau$$

$$\rho(t) = \rho_0 + \frac{it}{\hbar}(\rho H - H\rho)+\frac{i}{\hbar}\int_0^t[H,\frac{i}{\hbar}\int_0^t[H,\rho(\tau')]d\tau']d\tau$$

Члены первого порядка такие же, как и при расширении$U\rho U^{\dagger}$:

$$\rho(t) \approx \Big(1-\frac{iHt}{\hbar}\Big)\rho\Big(1+\frac{iHt}{\hbar}\Big)=\rho_0 + \frac{it}{\hbar}\Big(\rho H - H\rho\Big)$$

Однако с членами второго порядка у меня возникают проблемы, т.к.$U\approx \Big(1-\frac{iHt}{\hbar}+\frac{1}{2}\Big(\frac{iHt}{\hbar}\Big)^2\Big)$Я ожидаю, что они будут:

$$-\frac{iHt}{\hbar}\rho\frac{iHt}{\hbar} + \rho \frac{1}{2}\Big(\frac{iHt}{\hbar}\Big)^2 + \frac{1}{2}\Big(\frac{iHt}{\hbar}\Big)^2 \rho$$

но в рекурсивном выражении я записал$n$-th срок заказа просто будет$n$вложенные коммутаторы с$H$, так что мой 2-й член порядка ($[H,[H,\rho]]$) является:

$$-2\frac{iHt}{\hbar}\rho\frac{iHt}{\hbar} + \rho\Big(\frac{iHt}{\hbar}\Big)^2 + \Big(\frac{iHt}{\hbar}\Big)^2 \rho$$

что является ошибкой в ​​два раза. Член 3-го порядка будет иметь форму 4-й строки треугольника Паскаля и т. д., а$n$-й срок заказа будет$n!$слишком большой в моем выражении. Здесь я застрял, потому что не вижу никакого способа получить факторный член, но я также не вижу ничего явно неправильного в своем подходе.

Если кто-то может указать, где моя ошибка, я был бы очень благодарен.

(Только сейчас я наткнулся на следующее тождество:

$$e^A\rho e^A = \rho + [A,\rho] + \frac{1}{2!}[A,[A,\rho]] + \frac{1}{3!}[A,[A,[A,\rho]]] + ...$$

именно то, что я ожидаю, но я не знаю, как получить$\frac{1}{n!}$факторы)