Что означает выражение «все будущее находится в пределах горизонта событий»?

Смотрите мой ответ на Почему черная дыра черная? для обсуждения того, почему свет не может выйти из черной дыры.

Будущий световой конус — это просто набор всех точек пространства-времени, до которых можно добраться из вашего начального положения, т. е. края конуса — это все точки, которых вы можете достичь, путешествуя со скоростью света. Таким образом, утверждение о том, что будущий световой конус находится в пределах горизонта событий, — это просто повторение того факта, что невозможно выйти за горизонт событий, не путешествуя со скоростью, превышающей скорость света. Вы правы, что это утверждение не является доказательством. Ответ, который я привел выше, действительно представляет собой доказательство, хотя и требует немного математики.

Аккаунт "с нуля".

Интервалы и световые конусы

«Событие» в теории относительности определяется как нечто с набором координат в 4-мерном пространстве-времени. События разделены интервалом, который в плоском пространстве-времени можно записать как

$$ds^2 = -c^2 dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2\ ,$$ где неявное обозначение, что$ds^2 \equiv (ds)^2$используется. Этот интервал является фундаментальным в теории относительности, потому что это инвариант, с которым согласны все наблюдатели.

Интервал для светового луча всегда равен нулю. Это означает, например, что если мы направим луч света вдоль оси x, где$dy=dz=0$, затем$cdt/dx = \pm 1$. Таким образом, если мы нарисуем график$x$против$ct$(по оси Y), тогда свет будет двигаться по траекториям с градиентом$\pm 45$градусов от их начальной точки. Поскольку свет — это самый быстрый сигнал, который вы можете послать (намного быстрее почтового голубя), то эти линии свяжут все возможные события в будущем, на которые вы могли бы повлиять. Они также содержат координаты всех возможных событий, в которых вы могли бы оказаться в будущем, независимо от того, насколько быстро вы путешествовали. Это известно как будущий световой конус.

Подобный конус может быть расширен назад во времени, чтобы ограничить набор координат, из которых луч света (или что-то более медленное) мог достичь вас; и это известно как световой конус прошлого.

Рисунок ниже (рисунок из «Исследования черных дыр » Тейлора, Уилера и Бертшингера) иллюстрирует эти идеи. В точке A есть событие, а события BG нанесены на ту же диаграмму. Будущие и прошлые световые конусы помечены. События E, F и G относятся к световому конусу будущего A. События B, C и D относятся к световому конусу прошлого A.

Если интервал$ds^2$между двумя событиями отрицательно, то эти события могут быть причинно связаны, так как одно лежит в будущем световом конусе другого. Это известно как времяподобный интервал. Если интервал отрицательный, он называется пространственноподобным, и два события не могут быть причинно связаны. То есть что-то в событии A может влиять, сигнализировать или даже перемещаться к событию E, но не может влиять или перемещаться к событию B или любому из непомеченных событий, отмеченных квадратами в области «в другом месте», потому что они не находятся внутри будущий световой конус А.

Интервалы и световые конусы в общей теории относительности

Эти идеи переходят в общую теорию относительности, в которой пространство-время может быть искривлено. Это означает, что статус интервала как инварианта тот же, но выражение для интервала более сложное — коэффициенты при умножении$dt^2$и т.д. может зависеть от$t, x, y, z$или даже другие параметры, такие как масса или вращение центрального объекта.

$$ds^2 = -f_t(t, x, y, z, ...)c^2dt^2 + f_x((t, x, y, z, ...)dx^2 + ... {\rm etc.}\ .$$ Идеи о будущих и прошлых световых конусах также действительны в общей теории относительности. Световые конусы также определяются условием$ds^2 = 0$.

Однако сложность интервального уравнения означает, что наклон световых конусов может варьироваться в зависимости от положения исходного события. На первый взгляд кажется, что это говорит о том, что скорость света может отличаться от$c$. Ну, это верно в том смысле, что скорость света, выраженная как скорость изменения по отношению к используемым пространственным и временным координатам, действительно изменяется. Но эта скорость — не та скорость, которую мог бы измерить наблюдатель, находящийся локально по отношению к световому лучу. Они всегда говорили, что он путешествует со скоростью$c$.

Координаты

В общей теории относительности система координат, в которой вы выражаете интервальное уравнение, может стать чем-то вроде проблемы и доставить тем, кто плохо знаком с ОТО, массу неприятностей. В нерелятивистских ситуациях мы привыкли переключаться, скажем, между декартовыми и сферическими полярными координатами для описания местоположения объекта. Если бы мы измеряли расстояние между двумя точками на поверхности сферы, мы могли бы сказать, что$dl^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2$, но мы могли бы в равной степени и, возможно, с большей пользой использовать$dl^2 = r^2\sin^2\theta\ d\theta^2 + r^2d\phi^2$. Важно отметить, что выбор координат не влияет на то, что кто-либо на самом деле будет измерять. То же самое верно и в общей теории относительности.

Для невращающихся черных дыр интервальное уравнение можно записать в виде

$$ds^2 = -\left(1 - \frac{2GM}{c^2r}\right)c^2dt^2 + \left(1 - \frac{2GM}{c^2r}\right)^{-1}dr^2 + r^2 \sin^2\ d\theta^2 + r^2 d\phi^2\ ,$$ последние два члена такие же, как для плоского пространства-времени (из-за сферической симметрии) и$M$представляет массу черной дыры. Причина, по которой интервальное уравнение имеет такую ​​форму, заключается в том, что она обеспечивает правильное (и фактически единственное) решение уравнений поля Эйнштейна общей теории относительности для пространства-времени вне сферически-симметричной, инвариантной во времени массы.

The $t, r, \theta, \phi$координаты здесь похожи на сферические координаты, но не совсем. Например, из-за кривизны пространства-времени.$r$это не "радиус" и$\Delta r$не является разделением двух событий одновременно$t, \theta, \phi$. Эти координаты не подходят для работы с движением поперек или внутри «горизонта событий», где$r = 2GM/c^2$(также известный как радиус Шварцшильда,$r_s$). При этом значении$r=r_s$, вы можете видеть, что второй член интервального уравнения стремится к бесконечности. В этом есть смысл. Это означает, что кто-либо, следящий за событиями в этой системе координат, никогда не увидит, как объект достигает (или пересекает) горизонт событий за какое-либо конечное время.$t$.

Это не означает, что вещи не могут пересечь горизонт событий. По словам падающего наблюдателя, измеряющего время по собственным часам (которые не равны$t$), они пересекают горизонт событий и падают в сторону$r=0$за конечное время. Чтобы справиться с этим, мы можем определить другую систему координат (и их несколько на выбор), которые непрерывны на горизонте событий. Возможно, самой простой является система координат Гуллстранда-Пенлеве , где времяподобная координата$t$заменяется новой координатой$T$это определяется как$t - a(r)$, где$a(r)$определяется так, что приращение$T$точно такое же, как тиканье часов, которое несет наблюдатель, свободно падающий в черную дыру. Это устраняет проблему координат на горизонте событий, и уравнение интервала записывается

$$c^2 d\tau^2 = c^2\left( 1 - \frac{r_s}{r}\right)\,dT^2 -2c\left(\frac{r_s}{r}\right)^{1/2}\,dT\,dr - dr^2 - r^2\,d\theta^2 - r^2\sin^2\theta\,d\phi^2\, .$$

Световые конусы внутри горизонта событий черной дыры

Установив$ds^2$к нулю, и для простоты рассматривая радиальные пути, где$d\theta=d\phi=0$, легко видеть, что световые конусы определяются уравнением

$$\left(\frac{dr}{dT}\right)^2 +2c\left(\frac{r_s}{r}\right)^{1/2}\,\frac{dr}{dT} - c^2\left( 1 - \frac{r_s}{r}\right) =0\ .$$ Решение квадратного уравнения для$dr/dT$и инвертируя результат, имеем $$c\frac{dT}{dr} = -\frac{1}{\left(\frac{2GM}{c^2r}\right)^{1/2} \mp 1}\ ,$$ где$\mp$знак относится к исходящим и входящим световым пучкам соответственно.

Световые конусы, соответствующие этому уравнению, изображены ниже (рисунок адаптирован из «Исследования черных дыр» Тейлора, Уилера и Бертшингера), где$r_s = 2GM/c^2$, горизонт событий (где$r=r_s$отмечен красной линией, а световые конусы будущего и прошлого отмечены буквами F и P и рассчитываются в соответствии с уравнением для$cdT/dr$приведено выше.

Ключевым моментом на этой диаграмме, который отвечает на поставленный здесь вопрос, является то, что при$r=r_s$, световые конусы определяются

$$\frac{dT}{dr} = -0.5\ \ \ {\rm for\ ingoing\ light}\ ,$$ $$\frac{dT}{dr} = \infty\ \ \ {\rm for\ outgoing\ light}\ .$$ И если$r<r_s$то это невозможно для$dT/dr$быть положительным.

Что это значит?$r<r_s$, световые конусы опрокидываются в сторону уменьшения$r$и все будущие события внутри будущих световых конусов при меньших значениях$r$. Таким образом, никакие сигналы не могут быть отправлены на большие$r$и даже световой пучок, направленный наружу, на самом деле будет двигаться в сторону меньшего значения$r$.