Становится ли пространство внутри горизонта событий похожим на время следствием нашей системы координат?

Рассмотрим простейший пример черной дыры, черную дыру Шварцшильда, заданную метрикой:

Подпись метрики$(-,+,+,+)$(некоторые авторы используют$(+,-,-,-)$но это не имеет отношения к настоящему обсуждению). В этом смысле первая координата$t$, связан с отрицательной составляющей метрики. Обратите внимание, однако, что это действительно только для$r>r_s$. Если$r<r_s$, то есть внутри горизонта событий компонент метрики, связанный с$t$становится положительной, а компонента, связанная с$r$становится отрицательным. В этом смысле$r$координата становится «временем», а$t$координата становится частью «пространства».

Однако, учитывая, что указанная выше метрика становится сингулярной в$r=r_s$. Это проблема с этой системой координат. Мы можем сделать преобразование координат (подробности см. в этих примечаниях , стр. 182 и далее), чтобы привести метрику к следующему виду (так называемые координаты Крускала):

где$r=r(u,v)$это обычное$r$, но следует понимать в данном случае как функцию$u$и$v$.

В этом случае роль времени (отрицательной составляющей метрики) играет$v$, и это справедливо для обоих$r>r_s$и$r<r_s$. В этом смысле в координатах Крускала внутри черной дыры время остается временем, а пространство остается пространством.

Что это говорит нам? По сути, мы должны быть осторожны в интерпретации того, что означают координаты. Например, время$t$в исходных координатах Шварцшильда следует понимать как время, которое испытывает наблюдатель, бесконечно удаленный от черной дыры. Однако это не время, которое испытывает наблюдатель, падающий в черную дыру: это было бы так называемое собственное время.$\tau$, определяется$dt^2 = -ds^2$. Известно, что потребуется бесконечно$t$для наблюдателя, радиально падающего в черную дыру, чтобы действительно упасть, однако только конечное$\tau$. То есть: если вы упадете в черную дыру, вы фактически пересечете горизонт событий (конечный$\tau$), но ваш друг далеко никогда не увидит, как вы пересекаетесь.

Вывод состоит в том, что «подобные времени» координаты — это не обязательно время, переживаемое наблюдателем, это просто способ описания пространства-времени. Фактически,$u$и$v$выше, не имеют простой интерпретации с точки зрения времени, переживаемого кем-либо.

Как обсуждалось в комментариях, разделение двух точек, подобных времени или пространству, не зависит от наблюдателя, но на самом деле это не отвечает на вопрос.

Одна вещь, которая случается с наблюдателем, пересекающим горизонт событий, заключается в том, что после его пересечения сингулярность оказывается в будущем. Для внешнего наблюдателя черная дыра (и внутри нее сингулярность) образует времяподобную мировую трубу, но для внутреннего наблюдателя сингулярность теперь является пространственноподобной гиперповерхностью (в вашем будущем). В этом смысле можно сказать, что время становится пространством внутри черной дыры независимым от координат образом.

Однако то, что мы обычно называем пространством, представляет собой однопараметрическое семейство пространственноподобных гиперповерхностей, нормальных к времениподобному векторному полю (это определило бы локальные поверхности одновременности для наблюдателей, соответствующих векторному полю), интегральные кривые которых определяют время. Обычно мы вводим координаты$(t,x^i)$($i \in \{1,2,3\}$) такой, что$t$постоянна на гиперповерхностях, и$x^i$постоянны вдоль интегральных кривых. В канонических координатах Шварцшильда линейный элемент принимает вид

Фактически, на языке дифференциальной геометрии канонические координаты определяют одну карту, покрывающую внешнюю сторону горизонта событий, и одну отдельную карту, покрывающую внутреннюю часть. На этом языке то$r$«становится» времениподобным внутри означает просто то, что мы можем определить внутренние координаты таким образом, чтобы линейный элемент зависел от времениподобной координаты так же, как его зависимость от пространственноподобной координаты$r$во внешней области. Поскольку мы имеем дело с отдельными картами, покрывающими непересекающиеся области, из этого можно сделать вывод, что это не имеет ничего общего с превращением пространства во время (независимо от того, зависит оно от координат или нет), а скорее является утверждением о симметрии областей (что времяподобный вектор Киллинга снаружи заменяется пространственноподобным внутри; фактически они могут быть соединены гладким продолжением, которое также является Киллинговым и нулевым на горизонте).