Имеют ли спины пространственное направление?

Когда мы рассматриваем частицу со спином 1/2 и пытаемся записать ее волновую функцию, мы имеем

| ψ ⟩ "=" а | + ⟩ + б | − ⟩ ,
где в справке о двухуровневой системе автор написал

Рассмотрим спин, указывающий в момент времени, равный нулю, вдоль направления, заданного углами ( θ 0 , ф 0 )

| Φ , 0 ⟩ "=" с о с θ 0 2 | + ⟩ + с я н θ 0 2 е я ф 0 | − ⟩

Должен ли я интерпретировать это направление как направление в реальном трехмерном пространстве? Если да, то как записать (2.12), если я знаю, что спин направлен вдоль вектора, определяемого формулой ( θ 0 , ф 0 ) ? Я не знаю, как представить этот образ в голове (или нарисовать его...), так как два состояния | + ⟩ и | − ⟩ находятся в абстрактном гильбертовом пространстве, не имеющем ничего общего с реальным пространственным направлением.

Цитата из https://ocw.mit.edu/courses/physics/8-05-quantum-physics-ii-fall-2013/lecture-notes/MIT8_05F13_Chap_07.pdf

Ответы (5)

Рассматриваемый предмет достаточно прост.

Штат

| ψ ⟩ "=" потому что ⁡ θ 2 | + ⟩ + е я ф грех ⁡ θ 2 | − ⟩
спина 1/2 можно интерпретировать следующим образом (обратите внимание, что я написал θ / 2 вместо θ потому что, как вы увидите, таким образом θ будет означать фактический угол в трехмерном пространстве). Усредним по этому состоянию различные компоненты спина. Небольшое упражнение с матрицами Паули дает
⟨ с Икс ⟩ "=" ⟨ ψ | с ^ Икс | ψ ⟩ "=" 1 2 грех ⁡ θ потому что ⁡ ф ,
⟨ с у ⟩ "=" ⟨ ψ | с ^ Икс | ψ ⟩ "=" 1 2 грех ⁡ θ грех ⁡ ф ,
⟨ с г ⟩ "=" ⟨ ψ | с ^ г | ψ ⟩ "=" 1 2 потому что ⁡ θ .
Видно, что это сильно напоминает полярные координаты в 3D, что в основном означает, что средний спин формирует 3D-вектор длиной 1/2 в реальном пространстве. Этот вектор направлен в соответствии с углами θ и ф , т.е. он наклонен от оси z на угол θ и вращается в плоскости xy на ф от оси x. Другими словами, если вы измеряете проекцию спина в направлении
н → "=" ( грех ⁡ θ потому что ⁡ ф , грех ⁡ θ грех ⁡ ф , потому что ⁡ θ ) ,
вы получите значение 1/2 с вероятностью 100%. Конечно, помимо этого есть квантовые флуктуации, связанные с некоммутативностью спиновых проекций, но это совсем другая история.

UPD, ответ на вопрос в комментариях

Отныне я буду считать ℏ "=" 1 ради простоты.

Я не буду делать предположений о конкретном значении рассматриваемого спина, поэтому спин может быть половинным, одним, тремя половинными или любым другим целым или полуцелым значением. Чтобы иметь это в виду, я буду использовать столицу С .

Здесь я представлю общий способ найти состояние, которое «указывает» в заданном направлении. н → , где | н → | "=" 1 , начиная со спина, направленного вдоль направления z (я назову это состояние | С г "=" С ⟩ ).

Главное, что нужно знать на данный момент, это следующее утверждение из квантовой механики: любой оператор углового момента является генератором трехмерных вращений . Это похоже на то, как простой оператор импульса п ^ является генератором переводов. Например, в одномерном случае

опыт ⁡ ( − я а п ^ ) ψ ( Икс ) "=" ψ ( Икс − а ) .
Вы можете проверить приведенную выше формулу, заменив п ^ "=" − я д д Икс и разложение показателя степени в степенной ряд.

Таким же образом матричный показатель спиновых операторов (матричный показатель любой квадратной матрицы определяется как опыт ⁡ А "=" ∑ н "=" 0 ∞ А н / н ! ) производит вращение вашего состояния вращения в трехмерном пространстве. Формально это означает, что показатель степени матрицы

р м α "=" опыт ⁡ ( − я α ( С → ⋅ м → ) )
(снова | м → | "=" 1 ) вращает спин вокруг направления м → под углом α . Скалярное произведение в показателе степени равно ( 2 С + 1 ) × ( 2 С + 1 ) матрица:
С → ⋅ м → "=" м Икс С Икс + м у С у + м г С г .
Я считаю, что это знание обеспечивает мост между более абстрактным спиновым гильбертовым пространством и более знакомым трехмерным пространством. Теперь нам нужно сделать правильные вращения, чтобы вращение смотрело в нужном направлении. н → и мы можем просто мыслить в терминах обычных вращений. Позволять
н → "=" ( потому что ⁡ ф грех ⁡ θ , грех ⁡ ф грех ⁡ θ , потому что ⁡ θ ) .

Если мы начнем с | С г "=" С ⟩ состоянии, сначала нам нужно наклонить спин на угол θ от оси Z. Для этого мы можем сделать вращение вокруг оси Y:

| С г "=" С ⟩ → опыт ⁡ ( − я θ С у ) | С г "=" С ⟩
После этого мы просто вращаем ф вокруг оси Z:
опыт ⁡ ( − я θ С у ) | С г "=" С ⟩ → опыт ⁡ ( − я ф С г ) опыт ⁡ ( − я θ С у ) | С г "=" С ⟩ .
(Обратите внимание, что опыт ⁡ ( А ) опыт ⁡ ( Б ) ≠ опыт ⁡ ( А + Б ) в общем). И в принципе все, мы нашли государство, которое смотрит в сторону н → . Обозначим его
| ψ ⟩ "=" опыт ⁡ ( − я ф С г ) опыт ⁡ ( − я θ С у ) | С г "=" С ⟩ .
В этом случае, как и в случае со спином на одну половину, можно проверить, что:
⟨ С Икс ⟩ "=" ⟨ ψ | С Икс | ψ ⟩ "=" С грех ⁡ θ потому что ⁡ ф ,
⟨ С у ⟩ "=" ⟨ ψ | С у | ψ ⟩ "=" С грех ⁡ θ грех ⁡ ф ,
⟨ С г ⟩ "=" ⟨ ψ | С г | ψ ⟩ "=" С потому что ⁡ θ .
Еще раз, измеряя величину проекции спина в направлении н → для государства | ψ ⟩ даст значение С со 100% вероятностью.

УПД 2 + исправление

Однако заметим, что, конечно, не всякое состояние произвольного спина можно представить в виде вектора длины, равной С и указывая в каком-то фиксированном направлении н → . например в штате | С г "=" 0 ⟩ вращения С "=" 1 мы нашли ⟨ С Икс ⟩ "=" ⟨ С у ⟩ "=" ⟨ С г ⟩ "=" 0 .

Надеюсь, это поможет :)

Я сделал небольшое упражнение и нашел именно то, что вы описали. У меня есть дополнительный вопрос: существует ли метод построения, который можно использовать, чтобы перейти от произвольного единичного вектора н ^ к выражению | ψ ⟩ ? (Если мне интересно записать состояние частицы со спином 1, указывающее на н ^ направлении, мне не ясно, как это сделать.)
@Xavier: через минуту я опубликую ответ, отредактировав свой пост выше.

С | ± > охватывает гильбертово пространство, можно построить суперпозицию, которая указывает на Икс , у или любое другое направление. Полезной конструкцией для визуализации этого является сфера Блоха.

Направления должны интерпретироваться в трехмерном пространстве. Чтобы представить себе, что произойдет, когда измерения будут сделаны. Но не воспринимайте это как совокупность вращений, часть из которых полностью направлена ​​вверх, а другая часть полностью направлена ​​вниз. Это дало бы смесь состояний, которая не является вашим состоянием.

В реальном мире вращение не является пространственным. Однако орбитальный момент импульса является величиной, которая может быть описана в трехмерном (гильбертовом) пространстве. Теперь, когда мы обнаружили, что у частиц есть еще и некоторый внутренний спин. Мы, физики, искали способ описать поведение этого внутреннего вращения частицы. Таким образом, мы обнаружили, что внутренний спин может быть описан математически так же, как и орбитальный угловой момент (нерелятивистски).

Следовательно, если мы хотим описать частицу, нам нужна волновая функция, которая описывает пространственную часть частицы, а также ее внутренний спин. Для этого мы часто записываем волновую функцию как (тензорное) произведение двух волновых функций, каждая из которых «живет» в другом гильбертовом пространстве. При изучении спина частицы мы часто ограничиваемся только «спиновым гильбертовым пространством». Это пространство, в котором описывается наша спиновая волновая функция.

В случае частицы со спином 1/2 это спиновое пространство имеет только 2 измерения, и поэтому наша волновая функция может быть описана в двумерном гильбертовом пространстве, и таким образом мы можем думать о ней как о имеющей «пространственные направления». Но помните, что это всего лишь математический способ описания внутреннего вращения частицы. Он не представляет реальный мир!

Гамильтоново фазовое пространство (гильбертово пространство квантовых состояний) для спина 1/2 является двумерным, но спин представляет собой угловой момент, и поэтому наблюдаемая, связанная с оператором, собственные функции которого занимают это гильбертово пространство, является псевдовектором. в физическом пространстве. Мы можем выбрать базис фазового пространства так, чтобы он соответствовал измерениям вдоль любой заданной оси в физическом пространстве.

Спин - это угловой момент. Его квантование не соответствует таковому у р × п для частицы, но тем не менее обладает всеми свойствами углового момента.

Таким образом, наблюдаемая, связанная со спином, является псевдовектором в физическом пространстве, несмотря на то, что пространство состояний спина с это 2 с + 1 -мерное пространство (имеется в виду 2-мерное пространство для спина 1/2).

Имеют ли спины пространственное направление?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v