Размерная редукция многомерного действия Эйнштейна-Гильберта

Я беру пространство-время формы$\mathcal{M}_{d+1}\times \mathbb{S}^n$, с$\mathcal{M}_{d+1}$какой-то общий некомпактный$(d+1)$-мерное пространство-время и$\mathbb{S}^n$ан$n$-мерная сфера, так что ее метрика имеет следующий вид:

Где$\rho^2(x)$зависит только от$x^\mu$координаты, то есть не зависит от координат сферы. Действие Эйнштейна-Гильберта в$d+1+n$размеры:

С$\mathcal{R}^{(G)}$скалярная кривизна$G_{AB}$метрика и$\Lambda$космологическая постоянная. Я хочу сейчас уменьшить действие на сфере$\mathbb{S}^n$. Я понимаю, как сделать первые шаги, то есть написать, проинтегрировать по координатам сферы, отделив$\mathrm{d}^{d+1+n}x=\mathrm{d}^{d+1}x\mathrm{d}^n\Omega$, а также упростить определитель до$\sqrt{-G}=\sqrt{-\tilde{g}}\rho^n(x)$, так что я получаю:

Но я не вижу, как это еще упростить. В частности, я думаю, что должен быть умный способ уменьшить$\mathcal{R}^{(G)}$к$\mathcal{R}^{\tilde{g}}$плюс некоторые члены, пропорциональные$(\partial\rho)^2$и$\rho$, но я не вижу, как это сделать правильно, и не переделывая с нуля все вычисления для символов Кристоффеля, тензора Римана, тензора Риччи и скалярной кривизны.

Кто-нибудь может мне помочь? Я нашел несколько выводов для одномерной редукции на окружности, но обычно это делается на некотором скалярном поле.$\phi$показать, что возникает какая-то массивная башня состояний, а не о самом действии Эйнштейна-Гильберта - и я почти ничего не нашел для случая сферы.

РЕДАКТИРОВАТЬ: После некоторых дополнительных исследований я нашел более подробную статью и понял, что прочитал раздел о уменьшении размеров$\mathcal{N}=4$Лагранжиана супергравитации от D=7 до D=11 (примерно на стр. 59 статьи), что люди всегда выполняли КК-редукции для очень общего анзаца метрик с недиагональными членами, которые порождают калибровочные потенциалы в меньших измерениях. Но в моем случае у меня действительно есть блочно-диагональная метрика, которая должна давать лишь некоторую дилатонность.$\varphi$в$d+1$размеры, к которым я отношусь$\rho$с помощью$\rho(x)=e^{\varphi(x)}$. Именно поэтому я решил попытаться выполнить вычисления трудным путем, т.е. путем явного вычисления символов Кристоффеля, компонентов тензора Римана и тензора Риччи, чтобы явно получить$\rho$зависимость, а потом все подряд. В этом случае я получаю следующее действие:

Где$(\partial\rho)^2\equiv\tilde{g}^{\mu\nu}\partial_\mu\rho\partial_\nu\rho=G^{MN}\partial_M\rho\partial_B\rho$с$\rho$зависит только от координат$\mathcal{M}_{d+1}$.

Действие происходит в струнной рамке, поэтому, чтобы вернуться к обычному кадру Эйнштейна, я выполняю масштабирование по Вейлю.

Чтобы наконец получить:

Где я обозначаю через$\bar{\partial}^\mu=e^{\frac{2n}{d-1}\varphi}\partial^\mu$контравариантный вектор с индексом, поднятым с перемасштабированной метрикой$g_{\mu\nu}$. Кажется, это именно то, что мы искали, так как мы получили кинетический член для$\varphi$с$(\bar{\partial}\varphi)^2$и экспоненциальный потенциал$V(\varphi)$:

Я не уверен на 100%, что это действительно правильные коэффициенты, и я предполагаю, что могут быть некоторые тонкости с кинетическим членом, чтобы получить каноническую нормализацию. Кто-то уже сделал этот расчет, или, может быть, теперь, когда проблема определена более четко, кто-нибудь видел какую-нибудь статью, где это вычисление было сделано для двойной проверки? В противном случае, я думаю, я в основном получил свой ответ.