Теории Калуцы-Клейна, поле расширения и размерная редукция

Быстро пробежимся по стандартной компактификации КК. Мы начинаем с$d+1$размерная теория

$$S = \frac{1}{16\pi G_{d+1}} \int d^{d+1}x \sqrt{G} R_{d+1}$$ Более общие действия на $d+1$можно рассматривать многомерное пространство, но для наших целей этого будет достаточно. Метрика $G_{MN}$можно разложить как $$ds^2 = G_{MN} dx^M dx^N = e^{2\Phi} \left( dt + A_\mu dx^\mu \right)^2 + g_{\mu\nu} dx^\mu dx^\nu$$ Мы предполагаем теперь, что $t$является компактифицированным направлением с $t \sim t + 2 \pi R$. Теория имеет следующие симметрии

1. $d$-мерные диффеоморфы,$x^\mu \to x'^\mu(x)$под которым$A_\mu$и$g_{\mu\nu}$преобразуются как тензоры ранга 1 и 2 соответственно.

2. Калибровочные преобразования по компактифицированным направлениям,$t \to t + \lambda(x)$,$A_\mu \to A_\mu - \partial_\mu \lambda$. Эта симметрия по существу описывает локальный выбор начала координат в компактифицированном направлении.

Теперь, если масштабы длины нашей задачи велики по сравнению с радиусом компактифицированной окружности$R$, тогда мы предполагаем, что$\Phi$,$A_\mu$, и$g_{\mu\nu}$являются лишь функциями$x^\mu$и не$t$. (Здесь это сделано только для упрощения. Можно рассмотреть более общий случай, когда поля развернуты в моды в$t$направление. Это дает нам массивные частицы в$d$-мерное пространство. Мы не будем рассматривать это здесь). При таком предположении находим

$$R_{d+1} = R_d - 2 e^{-\Phi} \nabla^2 e^{\Phi} - \frac{1}{4} e^{2\Phi} F_{\mu\nu} F^{\mu\nu},~~ \sqrt{G} = e^{\Phi} \sqrt{g}$$ Тогда действие принимает вид $$S = \frac{2\pi R}{16\pi G_{d+1}} \int d^d x \sqrt{g} e^{\Phi} \left[ R_d - \frac{1}{4} e^{2\Phi} F_{\mu\nu} F^{\mu\nu} + \nabla_\mu \Phi \nabla^\mu \Phi \right]$$ Таким образом, отметим, что в $d$-мерное пространство, у нас есть калибровочное поле и скалярное поле. Действие не совсем в форме Эйнштейна-Гильберта, поскольку скалярное поле $\Phi$пары к $R_d$и $F_{\mu\nu} F^{\mu\nu}$нетривиально. Кроме того, кинетический член для $\Phi$имеет неправильный знак. Это поле называется дилатоном.

Чтобы понять, почему$\Phi$называется дилатоном (связанным с дилатацией, или другими словами шкалой), вернемся к$d+1$размерная метрика. Рассмотрим$S^1$живущий в фиксированной точке$x^\mu$. Индуцированная метрика на этом круге есть

$$ds^2_{S^1} = e^{2\Phi(x^\mu)} dt^2$$ Размер этого круга $$\int ds_{S^1} = \int_0^{2\pi R} dt e^{\Phi(x^\mu)} = 2\pi R e^{\Phi(x^\mu)}$$ Таким образом, мы видим, что эффективный радиус окружности при $x^\mu$является $R e^{\Phi(x^\mu)}$. Другими словами, поле дилатона управляет размером круга.

Кстати, приведенное выше компактифицированное действие записывается в так называемом струнном фрейме (название взято из теории струн). Можно перейти к более стандартной системе координат Эйнштейна (где действие принимает форму$\sqrt{g} R$и т. д.), выполнив переопределение поля$g_{\mu\nu} \to e^{2\omega} {\tilde g}_{\mu\nu}$и правильно выбрать$\omega$. В этой системе скалярный кинетический член имеет правильный знак. Тем не менее, у нас все еще есть нетривиальная связь с$F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$.