Что происходит, когда лазерный луч застревает между двумя зеркалами, а расстояние между ними постепенно уменьшается? Принцип неопределенности Гейзенберга

Я добавлю еще один ответ, который будет наиболее точным для вашего описания лазерного луча, отражающегося между двумя зеркалами (если исходить из «макро» расстояний), хотя нехватка времени сделает мой ответ неисчерпывающим.

То, что вы описываете, есть не что иное, как интерферометр Фабри-Перо или резонатор. В этом случае внутри зеркальных стенок разрешены только длины волн, кратные$2L$где$L$это расстояние между зеркалами. Все остальные длины волн излучаются из резонатора за счет деструктивной интерференции внутри и конструктивной снаружи. Это означает, что с какой бы частотой фотона вы ни начали, если сначала в резонансе, когда вы двигаете зеркала, он сразу же просочится из вашего резонатора (в случае действительно высокого качества резонатора или отражательной способности, приближающейся к 100%).

Кроме того, другими словами, самый короткий фотон, который вы можете удержать в резонаторе, — это резонатор, размер которого составляет половину длины волны. Меньше, и он всегда будет вытекать.

В этом сценарии побеждает (сложная) волновая характеристика электрических полей, поэтому невозможно медленно пространственно удерживать лазер с частотой$\nu$внутри полости.

Подобный эксперимент я называю квантовой мухой . Классическая задача о мухах хорошо известна:

Из пункта А и пункта В два поезда отправляются одновременно навстречу друг другу по одному и тому же пути со скоростями$u_A,u_B$. Муха стартует с лобового стекла поезда А и летит к лобовому стеклу поезда В со скоростью$v$, поворачивает обратно к поезду А и так далее, пока не будет раздавлен двумя сталкивающимися поездами. Какое расстояние преодолевает муха?

В квантовом случае речь идет о потенциальной яме, стенки которой схлопываются, и об электроне в этой яме. Что с ним произойдет?

Конечно, это зависит от деталей проблемы, но о некоторых вещах можно догадаться сразу:

• Как мы знаем из решения для нестационарной ямы, если она слишком узкая, ее уровни будут разделяться все большей и большей энергией. Если яма конечна, в ней не останется связанного состояния. т.е. электрон вылетит - муха не умрет!
• Из теории возмущений, зависящих от времени, мы можем также предположить, что цуги будут добавлять энергию электрону, поскольку он возбуждается до все более и более высоких энергетических состояний. Если колодец бесконечен, он в конце концов возбудится до бесконечно высокой энергии.

И так далее. Обратите внимание, что большая часть этих рассуждений может быть адаптирована для фотона в сжимающейся полости.

Замечание о соотношениях неопределенностей Гейзенберга.
Обратите внимание, что, если стены действительно бесконечно высоки, соотношение неопределенностей не зависит от ширины колодца ( полный вывод см. в этом ответе ):

Примечание: следующее было задумано как ответ на вопрос, заданный в комментариях к предыдущему ответу ( «почему сила увеличивается, когда мы перемещаем зеркала вместе?» ), а не как полный ответ. В частности, я проигнорировал способность фотонов вырваться из зеркального заключения.

Лазерный луч воздействует на зеркала,$F = P/c$где Р — мощность.

Чтобы сдвинуть зеркала вместе, вы должны совершить работу, которая увеличивает мощность, которая увеличивает силу, что представляет собой рекурсию, которая, вероятно, требует численного решения на компьютере.

Может быть какой-то трюк, чтобы элегантно решить эту проблему, но я не знаю его, поэтому я просто буду нести его до тех пор, пока не позволю компьютеру сделать все остальное за меня.

Задача 1. Работайте с фотонами, игнорируя луч

Совершая работу над лучом, мы совершаем работу над фотонами.

Кинетическая энергия фотона равна$T = h \nu$поэтому, когда вы работаете над n фотонами$W = n\int_0^{x'} dT/dx$, вы увеличиваете частоту так, что$\nu_f = \nu_0 + W/hn$

Это объясняет сохранение энергии: когда вы работаете с лучом (с идеально отражающими зеркалами), вы должны увеличить энергию луча. Помните, что на самом деле мы не знаем, что такое W, потому что W — это функция F, которая является функцией P, изменяющейся вместе с W.

Проблема 2: Увеличьте плотность энергии, игнорируя работу

Кроме того, предположим, что расстояние между зеркалами изначально было D. Тогда энергия луча была:

Сохранение энергии и исключение сохранения энергии из выполнения работы, мы уже учли это, увеличивая энергию фотонов. Поэтому относитесь к E как к константе. Когда вы толкаете лучи вместе расстояние$x'$при постоянном E мы должны увеличить P:

$P = cE_0/(D-x')$

Соедините результаты вместе

Мы знаем, что мощность луча линейно зависит от энергии фотонов, поэтому мы можем просто умножить наш результат для задачи 2 на отношение кинетических энергий фотонов.

$T/T_0 = \nu_f/\nu_0 = 1 + W/nh\nu_0$

$P = \frac{cE_0}{D-x'} + \frac{cE_0W/nh\nu_0}{D-x'}$

Позвольте мне предположить, что с математической точки зрения этот вопрос не имеет ничего общего с квантовой механикой. У вас есть стоячая волна между двумя фиксированными границами (вибрирующая струна — это совершенно правильное изображение), и «принцип неопределенности» говорит, что существует связь между частотой (которая в квантовой механике пропорциональна неопределенности импульса фотона) и расстояние между границами (которые дают неопределенность в положении). Конкретно частота обратно пропорциональна длине волны (с инвариантной скоростью распространения волны в качестве коэффициента преобразования), а последняя не может превышать удвоенного расстояния между границами для стоячей волны.

Что происходит, когда вы приближаете границы друг к другу, например, при восходящем глиссандо? Хотя изменение положения границы при конечной скорости будет сложным образом возмущать решение стоячей волны, казалось бы, что в пределе медленного изменения по существу происходит то, что частота колебаний возрастает обратно пропорционально оставшемуся расстоянию. В фотонном* изображении (теоретически бесконечно твердые) зеркала, двигаясь вместе, производят работу над фотонами, которые тем самым приобретают энергию и частоту, а следовательно, и неопределенность импульса. Принцип неопределенности остается в силе.

*Я мог бы добавить, что говорить о фотонах здесь бессмысленно; фотоны являются релевантным понятием только тогда, когда происходит обмен формой энергии, который может происходить только в квантах. В описываемой ситуации вполне достаточно волновой картины, корпускулярной картины не требуется.

Как и все, дьявол кроется в деталях того, как именно вы поставили этот эксперимент. Но грубо говоря, через некоторое время вы обнаружите, что 1. Сила, необходимая для того, чтобы прижать зеркала очень близко, становится очень большой. И 2. Вы обнаружите, что фотон не всегда остается между зеркалами.

Я хотел бы затронуть кое-что интересное, о чем не упоминают другие ответы, то есть о том, что идеальных зеркал не существует, и взаимодействие между атомами в зеркале и фотонами имеет значение:

1. отражение (упругое рассеяние)

2. поглощение (нагрев зеркала), фотон передает свою энергию поглощающей системе атом/электрон, и фотон перестает существовать

Теперь в вашем случае происходит и то, и другое, просто вероятность отражения намного выше, но даже тогда часть фотонов будет поглощаться зеркалом и нагревать зеркало (обратите внимание, в этом случае возможно, что атом будет повторно излучать избыточную энергию, но это может быть в случайном направлении и на другом энергетическом уровне/или каскадах, таким образом, не влияя на ваш пример лазерного луча).

В реальном мире зеркала не отражают идеально, поэтому вам нужно подавать энергию, чтобы компенсировать потери энергии на поглощение в зеркалах (это также приводит к нагреву лазера).

Почему для работы лазера необходимо подавать постоянное электричество?

По мере того, как вы приближаете зеркала все ближе и ближе, количество взаимодействий в единицу времени возрастает (за один и тот же период времени взаимодействий будет все больше и больше), и в абсолютном смысле будет все больше и больше поглощений. Таким образом, задолго до того, как вам придется рассматривать HUP, у вас закончатся фотоны в вашем лазерном луче, потому что все они будут поглощены атомами зеркал, и их энергия нагреет зеркало.

Таким образом, ответ на ваш вопрос заключается в том, что в конечном итоге вся энергия вашего лазерного луча будет передана зеркалу (нагреется) до того, как зеркала окажутся слишком близко, чтобы рассмотреть HUP.

Большинство ответов касаются классической задачи, описанной в первой части вопроса, связанной с лазером и зеркалами. Я собираюсь сосредоточиться на части вопроса о принципе неопределенности.

бесконечный квадратный колодец

Есть «игрушечная» система, которую изучают многие студенты, изучающие квантовую механику. Система представляет собой единственную квантовую частицу, запертую в жестком одномерном ящике . Потенциальная энергия частицы описывается как бесконечная квадратная яма.

Волновая функция положения частицы вне ящика точно равна нулю, поэтому частица остается в ловушке. Фотоны не имеют массы, но пока давайте представим массивную частицу в ящике. Энергетические собственные состояния системы

В собственном энергетическом состоянии энергия частицы точно известна, но ее положение находится в смешанном состоянии. Волновая функция положения отлична от нуля во многих местах внутри коробки. Мы могли бы аппроксимировать неопределенность положения, ширину волновой функции, как размер ящика:

(Можно точно рассчитать$\Delta x$, и статья в Википедии, ссылка на которую приведена выше, работает с этим)

Если частица находится в определенном энергетическом состоянии, то ее энергия точно известна. С$E = \frac{p^2}{2m}$может показаться, что его импульс тоже должен быть известен точно. Но поскольку в уравнении импульс возводится в квадрат, его импульс может быть как положительным, так и отрицательным. Частица может двигаться влево или вправо. В основном состоянии

Мы можем аппроксимировать неопределенность импульса как

(опять же, статья в Википедии работает точно)

Используя наши приближения:

Размер коробки$L$отменен. Неважно, насколько мала коробка, соотношение неопределенностей выполняется.

В уравнении энергии мы видим, что если мы уменьшим$L$, минимальная энергия увеличивается. Это, в свою очередь, увеличивает неопределенность импульса. Когда мы уменьшаем неопределенность положения, неопределенность импульса растет, чтобы компенсировать это.

Как отмечают другие, сжатие коробки требует затрат энергии. Уменьшать$L$, мы должны увеличить энергию частицы. Как$L$становится все меньше и меньше, стоимость энергии резко возрастает. Потребовалось бы бесконечное количество энергии, чтобы уменьшить$L$до нуля. Мы просто не можем этого сделать.

фотон в коробке

Та же идея справедлива и для фотона. Бесконечный квадратный колодец — это идеально отражающая коробка.

Волновая функция фотона представляет собой стоячую волну для собственных энергетических состояний, поэтому$L = \frac{n}{2}\lambda_n$. Энергетические собственные состояния

Мы используем релятивистское соотношение между энергией и импульсом частицы. Для безмассового фотона мы видим

На самом деле, используя наше простое приближение, мы получаем то же самое