Что такое «ассоциированное скалярное уравнение» уравнений движения?

«Ассоциированное скалярное уравнение» - это просто формула для временной эволюции скалярной величины смещения,$r$, а не все его векторные компоненты. На самом деле имеет смысл писать такое уравнение только в том случае, если правая часть может быть выражена через$r$только и не$\mathbf{r}$. Затем вы можете использовать его для анализа эволюции$r$в простых скалярных терминах, не беспокоясь о векторных величинах.

Чтобы увидеть, откуда оно берется, сначала обратите внимание на скаляр$r$можно написать$r = \sqrt{\mathbf{r} \cdot \mathbf{r}}$. Затем

$$r' = \frac{1}{2} (\mathbf{r} \cdot \mathbf{r})^{-1/2} (\mathbf{r} \cdot \mathbf{r}' + \mathbf{r}' \cdot \mathbf{r}) = \frac{\mathbf{r}'\cdot\mathbf{r}}{r}.$$ Продолжая со следующей производной, находим $$\begin{align} r'' & = \frac{1}{r^2} \left((\mathbf{r}'' \cdot \mathbf{r} + \mathbf{r}' \cdot \mathbf{r}') r - (\mathbf{r}' \cdot \mathbf{r}) r'\right) \\ & = \frac{1}{r^2} \left(\left(-\frac{\mu}{r^3} \mathbf{r} \cdot \mathbf{r} + \mathbf{r}' \cdot \mathbf{r}'\right) r - \frac{(\mathbf{r}'\cdot\mathbf{r})^2}{r}\right), \end{align}$$ где мы используем формулу, которую мы нашли для $r'$а также $\mathbf{r}'' = -\mu \mathbf{r} / r^3$. напоминая $\mathbf{r} \cdot \mathbf{r} = r^2$, мы можем написать $$r'' = -\frac{\mu}{r^2} + \frac{1}{r^3} \left((\mathbf{r}' \cdot \mathbf{r}') (\mathbf{r} \cdot \mathbf{r}) - (\mathbf{r}' \cdot \mathbf{r})^2\right),$$ которое имеет ту же форму, что и данное связанное скалярное уравнение.

Остается показать, что выражение в скобках является константой. Распознавание и последующее манипулирование некоторыми тройными продуктами дает

$$\begin{align} r'' & = -\frac{\mu}{r^2} - \frac{1}{r^3} \mathbf{r} \cdot (\mathbf{r}' \times (\mathbf{r}' \times \mathbf{r})) \\ & = -\frac{\mu}{r^2} - \frac{1}{r^3} (\mathbf{r} \times \mathbf{r}') \cdot (\mathbf{r}' \times \mathbf{r}). \end{align}$$ Но $\mathbf{r}' \times \mathbf{r}$это просто удельный относительный угловой момент $\mathbf{h}$, сохраняющееся в задаче двух тел. Таким образом, мы восстанавливаем данную формулу с константой $c^2 = \mathbf{h} \cdot \mathbf{h}$.

Мой ответ такой же, как у Криса, но сформулирован по-другому (по сути, это то же самое, что и эта вики-статья ):

В полярных координатах вектор положения равен

$$\mathbf{r} = r\,(\cos\varphi,\sin\varphi) = r\,\mathbf{\hat{r}},$$ с $\mathbf{\hat{r}}$радиальный единичный вектор. Тогда скорость $$\mathbf{v} = \dot{r}\,(\cos\varphi,\sin\varphi) + r\dot{\varphi}\,(-\sin\varphi,\cos\varphi) = \dot{r}\,\mathbf{\hat{r}} + r\dot{\varphi}\,\boldsymbol{\hat{\varphi}},$$ с $\boldsymbol{\hat{\varphi}}$азимутальный единичный вектор. Ускорение $$\mathbf{a} = (\ddot{r} - r\dot{\varphi}^2)\,\mathbf{\hat{r}} + (2\dot{r}\dot{\varphi} + r\ddot{\varphi})\,\boldsymbol{\hat{\varphi}}.$$ Но поскольку гравитация является радиальной силой, азимутальное ускорение должно быть равно нулю, так что $$2\dot{r}\dot{\varphi} + r\ddot{\varphi} = \frac{1}{r}\frac{\text{d}}{\text{d}t}(r^2\dot{\varphi}) = 0.$$ Другими словами, удельный относительный угловой момент $h=r^2\dot{\varphi}$является константой. Следовательно, (радиальное) ускорение становится $$a_r = \ddot{r} - r\dot{\varphi}^2 = \ddot{r} - \frac{h^2}{r^3} = -\frac{\mu}{r^2},$$ что дает желаемый результат.