Что такое эрмитовы операторы в КТП?

В этом ответе Любош объясняет, что в квантовой теории поля существуют линейные эрмитовы операторы, представляющие наблюдаемые.

Квантовые теории поля являются подмножеством квантово-механических теорий. Таким образом, они подчиняются всем постулатам квантовой механики, имеют гильбертово пространство, линейные эрмитовы операторы, т.е. наблюдаемые, подчиняются принципам суперпозиции, вычисляют вероятности из квадратов абсолютных значений комплексных амплитуд и так далее.

  1. В КМ все динамические переменные положение, импульс, угловой момент и т. д. также являются эрмитовыми операторами и наблюдаемыми.

Но в КТП все динамические переменные не являются эрмитовыми. При квантовании классической теории поля неясно, какие переменные преобразуются в эрмитовы операторы, а какие нет. Например, для комплексного скалярного поля полевой оператор ф ^ ( Икс , т ) не эрмитов, а гамильтониан. Числовой оператор эрмитов. Каково общее правило? Какие объекты повышаются до эрмитова оператора?

  1. Что такое наблюдаемые в QFT? Должны ли мы сказать, что гамильтониан или числовой оператор и т. д. являются наблюдаемыми или амплитуды рассеяния, скорости затухания и т. д. в качестве наблюдаемых? Если последнее, то они не связаны ни с какими операторами.

  2. В квантовой механике существуют различные эрмитовы операторы, образующие базис в гильбертовом пространстве. Но в КТП числовые операторы кажутся единственными операторами, собственные состояния которых исходят из базиса (это тоже относится к свободной теории). Это верно?

  3. Можно ли считать импульс поля эрмитовым (и наблюдаемым) и, следовательно, его собственные состояния, образующие непрерывный базис, как в КМ?

Примечание. Не существует такого понятия, как «классическое комплексное скалярное поле». Представление о двух реальных скалярных полях как об одном комплексном поле — это переформулировка, облегчающая теоретическое рассмотрение, но не меняющая того факта, что «фундаментальные» динамические переменные являются полями с действительными значениями. Эта тонкость квантования сложных скалярных полей также обсуждается здесь .

Ответы (1)

Каково общее правило? Какие объекты повышаются до эрмитова оператора?

Общее правило состоит в том, что если классическая переменная действительна, то квантовый оператор эрмитов.

Что такое наблюдаемые в QFT? Должны ли мы сказать, что гамильтониан или числовой оператор и т. д. являются наблюдаемыми или амплитуды рассеяния, скорости затухания и т. д. в качестве наблюдаемых?

Если под наблюдаемым вы подразумеваете «что-то, что можно наблюдать», то последние являются наблюдаемыми, а первые — нет. Но в целом, когда говорят о наблюдаемом в контексте КМ, то обычно имеют в виду «эрмитов оператор», и в этом случае первые являются наблюдаемыми, а вторые — нет.

Если последнее, то они не связаны ни с какими операторами.

Амплитуды рассеяния (примером которых является скорость затухания) связаны с С матричный оператор, который не является эрмитовым, а унитарным.

В квантовой механике существуют различные эрмитовы операторы, образующие базис в гильбертовом пространстве. Но в КТП числовые операторы кажутся единственными операторами, собственные состояния которых исходят из базиса (это тоже относится к свободной теории). Это верно?

Нет, это неправильно. В общем случае полный набор коммутирующих операторов образуют генераторы трансляций п мю , операторы Казимира алгебры Пуанкаре, генераторы внутренних симметрий (например, оператор заряда, который является просто числовым оператором с забавной нормализацией) и т. д. То, что это множество конечно, является одной из рабочих гипотез любого аксиоматического подхода. к КТФ.

Можно ли считать импульс поля эрмитовым (и наблюдаемым) и, следовательно, его собственные состояния, образующие непрерывный базис, как в КМ?

Если под импульсом поля вы подразумеваете п мю , то да (как и в предыдущем пункте). Если ты имеешь ввиду π ( Икс ) , то вообще нет ( подробнее см. Физическая интерпретация канонических сопряженных импульсов в теории поля ).

Ваш предпоследний абзац кажется мне странным (потому что я не понимаю, что изначально должно означать «существуют различные эрмитовы операторы, образующие базис в гильбертовом пространстве»). Вы пытаетесь сказать, что операторы, которые вы перечисляете, образуют полный набор коммутирующих наблюдаемых , то есть их совместные собственные состояния дают собственный базис без вырождения?
@ACuriousMind да, это именно то, что я имел в виду.
@AccidentalFourierTransform Причина, по которой операторы являются эрмитовыми в QM, заключается в том, что их собственные значения реальны. Любая измеримая величина должна быть реальной. Но в КТП мы видим нечто неизмеримое, к тому же эрмитовое (по какой-то непонятной причине).
@AccidentalFourierTransform Следующая часть ответа кажется совершенно неверной: « Общее правило состоит в том, что если классическая переменная действительна, квантовый оператор является эрмитовым ». Контрпример: позиция Икс — классическая действительная переменная, но что такое соответствующий эрмитов оператор в КТП? Нельзя измерить положение частицы в КТП.
@MikhailSkopenkov В теории поля - будь то классическая или квантово-механическая - переменными фазового пространства являются поля, а не позиции, поэтому ваш вопрос бессмысленен. В каноническом квантовании мы заменяем канонические переменные операторами, и если первые вещественны, то последние эрмитовы, без исключений. В квантовой теории поля нет оператора, соответствующего положению, именно потому, что в классической теории поля нет переменной фазового пространства, соответствующей положению. Утверждение, которое я делаю в посте, не связано с отсутствием оператора позиции: мы не квантуем позицию.
@AccidentalFourierTransform Согласен с вашим комментарием, но это только один из способов просмотра QFT. Например, КТП обращается к «амплитудам распространения частицы от ( Икс 0 , т 0 ) к ( Икс 1 , т 1 ) . Здесь Икс 1 (и Икс 0 ) — это должность. Но нет ни способа измерить это положение, ни соответствующего эрмитова оператора! Просто подумайте о приземленных людях, читающих ваш ответ.
Что такое эрмитовы операторы в КТП?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v