Что такое фоновая независимость и насколько она важна?

1. Независимость от фона — это, как правило, независимость уравнений, определяющих теорию, от всех допустимых значений ее степеней свободы, особенно от значений полей пространства-времени, особенно от метрического тензора. Однако эта концепция имеет различные уровни, которые неэквивалентны, и различия часто важны для ответа на вопросы о «необходимости» независимости от фона, см. Ниже.

2. Мы не знаем. [Проявленная, см. ниже] независимость от фона — это эстетическое ожидание, можно сказать, предубеждение, которое мы не можем доказать никаким научным способом, поэтому прогресс в науке может показать, что это было хорошим ориентиром или вводящим в заблуждение чрезмерным ограничением. . Уже несколько веков мы знаем, что наука не может систематически прогрессировать, навязывая произвольные философские догмы и упорно защищая их. Наука часто обнаруживает, что некоторые философские ожидания, какими бы «красивыми» или «убедительными» они ни были, оказались несостоятельными. Ожидания по поводу «независимости от фона» не являются исключением. Опять же, неизвестно, является ли конечная «наилучшая» форма теории всего (существует ли вообще «одна наилучшая форма», являющаяся другим, хотя и родственным «если»

3. Нет, нет известного способа показать, что отсутствие фоновой независимости уже подразумевает, что теория не является полной теорией всех взаимодействий и типов материи. Некоторые необходимые условия согласованности могут быть поняты в будущем, но на данный момент это предположение, существуют ли они.

Теперь тонкости. Вы неявно написали, что теория струн зависит от фона. Это очень деликатный вопрос. Некоторые формулировки (конкретные наборы уравнений, используемые для определения теории, по крайней мере, для подкласса ситуаций), такие как AdS/CFT или матричная теория, зависят от фона. Например, AdS/CFT формулируется как теория с предпочтительным фоном, пустым пространством.$AdS_d\times M$, а все остальные состояния строятся "поверх этого". Точно так же матричная теория определяет теорию плоского пространства, умноженного на некоторое простое многообразие (тор, К3 и т. д.). На этом изображении невозможно увидеть «полностью» разные фоны, и даже эквивалентность с другими близлежащими формами пространства-времени далеко не очевидна. В матричной теории необходимо построить новую матричную модель для нового фона (этот факт является частью пакета датчика светового конуса).

Однако это всего лишь наблюдения о том, как «выглядят» уравнения. Инвариантные утверждения о теории явно не должны зависеть от того, как «выглядят» уравнения, о каком-то, возможно, вводящем в заблуждение покрытии на поверхности: они должны зависеть только от реальных математических и физических свойств теории, которые могут быть измерены. Когда мы задаем вопросы о достоверности или полноте теории, мы действительно должны говорить не о «фоновой независимости, наблюдаемой в уравнениях», а скорее о «фоновой независимости динамики».

Динамика теории струн явно независима от фона.

Этот момент может быть показан в большинстве формулировок, которые мы знаем. Теория пертурбативных струн (которая требует, чтобы связь струн оставалась слабой, и использует эту слабость для организации всех окружающих «фундаментальных струн» как единственных элементарных объектов, в то время как все остальное является «солитоном» или «композитом») представляет собой степенное расширение вокруг предопределенный фон, но мы можем легко показать, что если мы определим пертурбативную теорию струн как расширение вокруг другого фона, мы получим эквивалентную теорию. Один фон может быть получен из другого фона добавлением действительных физических возбуждений (когерентного состояния гравитонов и модулей), допускаемых этим «другим фоном». В этом смысле существует только одна пертурбативная теория суперструн, чьи пространственно-временные поля можно разделить на «фоновые» и «фоновые».

Есть связанный с этим вопрос, связано ли «пространство возможных фонов». Многое из этого связано с двойственностями и различными переходами: Т-дуальностью, S-дуальностью, U-двойственностью, конифолдными и флоп-переходами, а также различными родственными переходами, более причудливыми и понятными меньшему количеству людей. Это гораздо более взаимосвязано, чем люди могли себе представить в 1980-х годах. Когда мы смотрим на простые и достаточно симметричные вакуумы, кажется, что они действительно связаны: есть только один компонент струнной/М-теории. С другой стороны, полная связанность не является догмой. Это научный — и математический — вопрос, оба ответа на который возможны, пока не доказано обратное. Одни и те же уравнения могут иметь решения, которые вообще не могут быть преобразованы друг в друга.

Когда мы говорим о независимости от фона, возникает еще один технический вопрос, а именно, хотим ли мы, чтобы теория имела одинаковую форму для всех фонов, включая те, которые изменяют пространство-время на бесконечности, или только фоны, которые сохраняют поля в асимптотической области. AdS/CFT зависит от фона в одном смысле, потому что требует, чтобы поля в бесконечности сходились к$AdS_d\times M$геометрия со всеми полями в их ожидаемых значениях (обычно нулевых). Как правило, конфигурации, которые изменяют асимптотическую область, представляют собой состояния с «сильной бесконечной энергией», которые на самом деле не могут быть надежно построены в исходной КТП. Однако, если вы рассматриваете только фоны, которые различаются по «массе», все же можно сказать, что даже AdS/CFT (и аналогичная матричная теория) не зависят от фона, хотя и не явно.

Итак, большой слон — это «явная независимость от фона», форма уравнений, которые вообще не пытаются показать вам какой-либо предпочтительный фон и которые так же легко (или сложно) применить к одному фону, как и к любому другому, сколь угодно далекому. фон. Все фоны должны возникать как решения, и они должны проявляться «с одинаковой легкостью». Это «манифестная фоновая независимость». Некоторые люди всегда имеют в виду «явную независимость от фона», когда говорят о «независимости от фона»: должно быть очень легко увидеть, что все фоны следуют из одних и тех же уравнений, думают они. Опять же, это эстетическое ожидание, которое нельзя показать «необходимым» для чего-либо в физике, даже для «полноты» теории как окончательного ТОЭ.

Есть ограниченные успехи. Например, кубическая теория поля открытой струны Виттена (типа Черна-Саймонса) может быть записана независимым от фона способом, так что кубический член является единственным оставшимся членом в действии. Это элегантно, но на самом деле мы всегда решаем уравнения так, чтобы найти фоновое решение и расширить его, чтобы вернуться к квадратичной плюс кубической (подобной Черну-Саймонсу) форме действия. Хотя чисто кубическая отправная точка элегантна, мы не слишком многому учимся с первого шага: мы просто переформулируем условия согласованности для фона как тот факт, что они решают некоторые (несколько формальные) уравнения.

Теория струнного поля хороша только для изучения пертурбативной физики струн (и по некоторым техническим причинам она фактически полностью работает только для процессов с внутренними открытыми струнами, хотя все состояния замкнутых струн можно рассматривать как полюса в амплитудах рассеяния). Непертурбативно (при сильной связи) независимость от фона становится труднее, потому что она должна проявлять все S-дуальности (эквивалентность между сильно связанной теорией струн одного типа и слабосвязанной теорией струн другого типа или того же типа). Несмотря на неопровержимые доказательства, подтверждающие двойственность, не существует известной формулировки, которая делала бы их все явными.

Невозможно убедительно утверждать, что в этой ситуации что-то не так. На самом деле можно было бы пойти дальше. Можно сказать, что физики накопили косвенные доказательства того, что «формулировка, проявляющая все симметрии и отношения», является химерой, нравится нам вкус этих результатов или нет. Довольно типична ситуация, когда формулировки, делающие явными одни черты теории, делают другие черты теории «невидимыми», и наоборот. Поскольку это так типично, это может быть даже «закон» — новый вид «дополнительности», прямо противоречащий «независимости от фона», — хотя мы должны были бы сформулировать закон строго, и никто не знает, как это сделать.

Например, обычная пертурбативная теория струн в пространствах, асимптотирующих 10-мерное пространство Минковского, может быть записана с использованием «ковариантных» уравнений. Это слово для описания, которое делает проявление лоренцевой симметрии пространства-времени. Но когда мы это делаем, унитарность — особенно отсутствие в спектре «призрачных» состояний с отрицательной нормой — становится трудно доказать. Наоборот. Калибровочные формулировки светового конуса демонстрируют унитарность, но затемняют симметрию относительно некоторых образующих симметрии Лоренца. Это как бы неизбежно.

Кроме того, ковариантные подходы (RNS) усложняют доказательство пространственно-временной суперсимметрии. Эта «дополнительность» не может быть неизбежной; Чистый спинорный формализм Натана Берковица, если он работает, а я держу пари, что он работает, делает явными как симметрию Лоренца, так и суперсимметрию. Это также близко к описанию датчика Грина-Шварца светового конуса, поэтому «унитарность» также не слишком сложна. Однако у него есть бесконечное количество призраков мирового листа (и призраков для призраков, и так далее, до бесконечности) и можно было бы утверждать, что отсутствие различных проблем, связанных с ними, является непроявленным.

Ландшафт струнной/М-теории, какой мы ее знаем сегодня, довольно сложен и имеет множество структур. Мы должны отточить наши инструменты, если мы хотим изучить некоторые переходы в этом ландшафте, его области. Инструменты, необходимые для решения отдельных вопросов, кажутся неэквивалентными. Явная независимая от фона формулировка теории струн сделала бы все эти переходы одинаково доступными — все инструменты действительно были бы «одним инструментом», используемым многими способами. В некотором смысле эта желаемая конструкция должна была бы объединить «все разделы математики», которые становятся актуальными для исследования отдельных вопросов в различных областях теории струн (и поверьте мне, похоже, что разные области теории струн заставляют вас учиться функции и алгебраические и геометрические структуры, которые действительно различны, изучаются очень разными математиками и т. д.). Это была бы формулировка, стоящая «намного выше» всего этого «многообразного» ландшафта. Такая формулировка «один размер подходит всем» интригует, но ее существование никоим образом не гарантируется, и неудачные попытки найти ее на протяжении многих лет дают нам некоторое свидетельство (хотя и не доказательство) того, что ее не существует.

Вместо этого многие люди воображают, что ландшафт теории струн — это своего рода многообразие, которое неизбежно должно описываться «участками», плавно приклеенными к своим соседям. Каждый патч требует несколько иной математики. Точно так же, как многообразия могут быть описаны в терминах атласа лоскутков, то же самое можно сказать и о ландшафте струнной/М-теории. У нас также есть более унифицированные, менее фрагментированные способы думать о многообразиях. Неясно, возможен ли аналог этих путей для волокнистого ландшафта и если возможен, то способен ли человеческий разум его найти.

Так что ничего не гарантировано. Переходы в ландшафте, дуальности и группы дуальностей настолько математически разнообразны и богаты, что формулировка, которая «выплевывает» их все как решения некоторых универсальных уравнений или условий, действительно является амбициозной целью. Найти его может быть невозможно.

Я также хочу отметить один простой момент, касающийся неструнных теорий. Фоновая независимость иногда используется в качестве «маркетингового лозунга» для некоторых нестрогих предложений, но этот лозунг вводит в заблуждение, потому что вместо объяснения всех групп двойственности во всем ландшафте, включая, например,$E_{7(7)}(Z)$группа U-двойственности М-теории на семиторе (эти исключительные группы Ли сами по себе довольно сложны, и они должны появиться как одно из решений некоторых условий среди многих), эти альтернативные теории скорее говорят вам, что никакое пространство-время и никаких переходов и интересных дуальностей вообще не существует. В то время как их сторонники пытаются убедить вас, что вам должен понравиться этот ответ, этот ответ явно неверен, потому что переходы, дуальности и особенно само пространство-время существуют. Эту версию «независимых от фона теорий» следует называть «теориями, запрещающими фон» или «теориями, запрещающими пространство-время», и, конечно, тот факт, что из них нельзя вывести какое-либо реалистичное пространство-время, является причиной немедленного отказа от них. , не считать их жизнеспособными конкурентами струн/М-теории. Эта версия «независимости от фона» не имеет абсолютно ничего общего с амбициозной целью поиска правил, позволяющих вывести «все двойственности и переходы, известные нам в физике (не только новые, чисто струнные, но и более старые, которые были обнаружены). известные в физике до теории струн)» как решения. Вместо этого этот маркетинговый тип «независимости от фона» является ловкостью рук, чтобы доказать, что мы должны забыть всю физику и нечего объяснять, никаких дуальностей, никаких переходов, никаких пространств модулей, никакого пространства-времени. И когда мы верим, что там ничего нет, нет соответствующей математики и т. д., теория всего становится эквивалентной теории ничего, и ее легко записать. Что'

Подводя итог, фоновая независимость — это, как правило, попытка найти как можно более универсальные, всеобъемлющие и элегантные формулировки теорий, особенно теории струн/М-теории, но это эмоциональное ожидание, а не твердое условие, которому теории должны подчиняться. , и мы должны на самом деле прислушиваться к свидетельствам, если хотим знать, верны ли наши ожидания, в какой степени они верны и какие новые связанные вопросы нам предстоит изучить, даже если мы понятия не имели, что они могут иметь значение. Также возможно, что независимые от фона уравнения на самом деле являются «условиями непротиворечивости квантовой гравитации» (которые могут быть записаны некоторыми количественными условиями, точная форма которых известна лишь частично): когда мы пытаемся найти все решения, мы находим все ландшафт струн/М-теория. Такая формулировка струнной/М-теории была бы крайне неконструктивной, но, в конце концов, именно этого всегда требовала «независимость от фона». Может быть, мы не хотим слишком много фоновой независимости.

Любос ответил правильно. Но стоит подчеркнуть, что не существует согласованного определения «фоновой независимости» в целом.

Литература полна определений, которые отличаются друг от друга как по намерениям, так и по философии, а также по важнейшим математическим деталям. В разных теориях это слово используется очень по-разному, и его часто сложно разобрать (особенно когда вы пытаетесь использовать это понятие как сито теорий).

На самом деле, различные типы теорий даже не могут договориться о том, что такое «предыстория». Например, в ОТО фон — это классическое решение уравнения Эйнштейна, заданное метрическим тензором. Принимая во внимание, что в теории струн нет фона, который включает только метрический тензор. Вместо этого фон — это гораздо более общее существо с различными модулями и дополнительными полями (фактически бесконечная башня вибрационных мод).

Дальнейшая независимость от фона часто путается с различными модными словечками, которые означают разные вещи в разных контекстах. Вы можете слышать слова «отсутствие априорной геометрии», «отсутствие абсолютной структуры», и это также часто путают (на мой взгляд, ошибочно) с общей ковариантностью и использованием метода фонового поля в теории поля.

В каком-то смысле намерение состоит в том, чтобы разделить вещи, которые остаются фиксированными в теории, и те, которые остаются динамическими или разнообразными. Андерсон в своей книге по ОТО 1960-х годов запустил этот тип программы, и в 80-х годах ряд людей обобщил ее на квантовую гравитацию. Я думаю, справедливо будет сказать, что этот тип идеи сталкивается с рядом проблем. Во-первых, часто бывает легко взять что-то стационарное и придать ему динамичный вид с помощью различных трюков. И тогда есть обратное. Вы можете взять динамическую теорию и написать ее в формализме, допускающем фиксирование вещей.

Так что действительно сложно разобраться в основной физической идее, а не просто принять ее как элегантный эстетический критерий.

Теория Максвелла в пространстве-времени Минковского зависит от фона, потому что метрика Минковского — фиксированная геометрическая структура — является ЧАСТЬЮ ФОРМУЛИРОВКИ теории. Метрика Минковского появляется, например, в принципе действия.

Общая теория относительности сильно отличается, потому что в действии Эйнштейна-Гильберта нет фиксированной фоновой геометрической структуры, нет фиксированной геометрической структуры, которая является частью формулировки теории. GR не зависит от фона.

Отношение к общей ковариантности - это аргумент Эйнштейна о дырке:

Общая ковариантность говорит о том, что законы физики должны иметь одинаковую форму во всех системах координат. Скажем, у вас есть координаты x и y, сказать, что уравнение движения имеет одинаковую форму, это то же самое, что сказать, что вам нужно решить точно такое же дифференциальное уравнение, но в первом случае независимой переменной является x, а во втором дифференциал уравнения независимой переменной является y. (В аргументе Дыры мы будем думать только об уравнениях вакуумного поля для начала).

Теперь, если вы подумаете об этом, как Эйнштейн, вы сделаете вывод, что как только вы найдете метрическую тензорную функцию, которая решает дифференциальное уравнение в координатах x, просто запишите ту же функцию, но замените x на y, и она решит дифференциальное уравнение в y-координатах. Поскольку метрические тензорные функции имеют одинаковую форму, но принадлежат разным системам координат, они будут накладывать РАЗНЫЕ геометрии пространства-времени!

Теперь возникает проблема, которая беспокоила Эйнштейна. Скажем, у вас есть начальная пространственная поверхность, заданная t = 0, и за пределами этой поверхности у вас есть замкнутая область пространства-времени, лишенная материи (Дыра). Скажем, две системы координат совпадают друг с другом везде за пределами Дыры, но различаются внутри Дыры... тогда у вас будет два решения, у них обоих одинаковые начальные условия, но они накладывают разную геометрию внутри дыры. вывод состоит в том, что ОТО не определяет расстояние между точками пространства-времени внутри Дыры. Эйнштейн отшатнулся от этого и попытался заменить принцип общей ковариантности только для того, чтобы решить аргумент Дыры в 1915 году.

Чтобы понять решение, вы должны сначала понять, как эти два решения связаны друг с другом. Поскольку они оба имеют одинаковую функциональную форму, это означает, что они принимают все одинаковые значения, они просто принимают их в разных точках. Таким образом, одно решение связано с другим путем активного перетаскивания исходной метрической тензорной функции по многообразию при сохранении прикрепленных координатных линий. Это эквивалентно тому, что математики назвали бы диффеоморфизмом. Когда физики слышат диффеоморфизм, они склонны думать, что вы говорите о простом преобразовании координат, но на самом деле вы говорите о чем-то гораздо более радикальном.

Решение Эйнштейна состояло в основном в том, чтобы добавить некоторые материальные объекты и определить физические точки по отношению к материи. Он определил физическую точку как место пересечения траекторий двух частиц. Расстояния между точками, определенными таким образом, имеют физический смысл и определяются теорией, потому что, выполняя диффеоморфизм, вы одновременно стягиваете гравитационное поле и материю.

Или, если хотите, можете ввести поле материи, то совпадения между значением, которое принимает гравитационное поле, «где» поле материи принимает такое-то значение, сохраняются при диффеоморфизмах. Таким образом, мы можем сформировать относительное представление о материи, расположенной по отношению к гравитационному полю, и наоборот. Эйнштейн понял, что физические объекты могут располагаться ТОЛЬКО относительно друг друга. Как говорит Ровелли, ОТО больше не является теорией полей, живущих в пространстве-времени, а является теорией полей, живущих поверх других полей. Решение Эйнштейна является источником поговорки «сцена исчезает и становится одним из актеров», и это то, что имел в виду Эйнштейн, когда сделал свое замечание «превзошло мои самые смелые ожидания».

Виттен понимает важность инвариантности диффеоморфизмов. Поскольку точки пространства-времени, определяемые значениями координат, не имеют операционного значения, Виттен утверждал, что в ОТО не может быть локального калибровочно-инвариантного поля, поля, которое является функцией координат пространства-времени, поэтому мы должны заменить точечные частицы струнами — см. 16:25. после его лекции о Ньютоне: https://www.youtube.com/watch?v=XegXKOvhU9Y (хотя люди, занимающиеся петлевой квантовой гравитацией, будут утверждать обратное!).

Виттен хотел получить независимую от фона формулировку теории струн. По словам Эда Виттена:

«Поиск правильной основы для внутренней, независимой от фона формулировки теории струн — одна из главных проблем теории струн, и до сих пор она оставалась недостижимой». ... «Эта проблема фундаментальна, потому что именно здесь действительно нужно решить вопрос о том, какой геометрический объект представляет собой струна». [Э. Виттен: «Квантовая независимость от фона в теории струн», hep-th/9306122. «Об истории независимой теории поля с открытыми струнами» hep-th/9208027]

Ключевым моментом здесь является то, что люди думают, что решение уравнений Эйнштейна представляет собой конкретную геометрию пространства-времени, конкретную фоновую геометрию, тогда как на самом деле решение представляет собой класс эквивалентности различных геометрий, связанных друг с другом через (что математики называют) диффеоморфизмами. . И если вы хотите говорить о наблюдаемых и, следовательно, о физике, вы должны быть очень осторожны, чтобы то, что вы вычисляете или делаете, было истинным для ВСЕХ членов этого класса эквивалентности.

Существование этого класса эквивалентности не означает, что нет понятия геометрии пространства-времени, это просто означает, что вы должны понимать геометрию в реляционном смысле. Но тогда в реляционных понятиях геометрии нет ничего нового! Ровелли приводит пример Декарта — см. его книгу «Квантовая гравитация» — черновой вариант можно найти на http://www.cpt.univ-mrs.fr/~rovelli/book.pdf .