В классической механике вы строите действие (с участием лагранжиана в произвольных обобщенных координатах, гамильтониана в канонических координатах [чтобы сделать вашу EOM более « удобной и симметричной »]), затем экстремируя его, вы получаете уравнения движения. В качестве альтернативы можно найти УЧП первого порядка для действия как функцию его конечных точек, чтобы получить уравнение Гамильтона-Якоби, а формулировка скобки Пуассона - это просто средство изменения переменных в вашем УЧП, чтобы гарантировать, что ваши новые переменные по-прежнему являются характеристиками. HJ PDE (т.е. решения EOM - см. № 37). Все, что для меня имеет смысл, заключается в том, что мы экстремируем функционал, чтобы получить EOM, или решаем PDE, который неявно предполагает, что мы уже получили решение (путь частицы) внутри действия, ведущего к PDE. Однако в квантовой механике, по крайней мере, при каноническом квантованииЯ думаю, вы, по-видимому, просто берете гамильтониан (лагранжиан в канонических координатах) и смешиваете его с идеями, связанными с изменением переменных в представлении вашей проблемы уравнением Гамильтона-Якоби, чтобы убедиться, что координаты являются характеристиками вашего уравнения Гамильтона-Якоби (т. е. решения ЭОМ), затем вы по какой-то причине помещаете эти идеи в какое-то новое пространство (гильбертово пространство) и получаете теорию КМ. Основываясь на том, что я написал, вы буквально делаете то же самое, что и в классической механике в начале, вы проникаете в классические идеи и по какой-то причине превращаете вещи в алгебру - я не понимаю, почему это так. необходимо, или почему вы не можете делать именно то, что делаете в классической механике??? Кроме того, я думаю, что мои вопросы имеют некоторую ценность, когда вы отмечаете, чтоПервоначальный вывод Шредингера включал функционал действия, использующий уравнение Гамильтона-Якоби. Снова мы видим, как Шредингер делает то же самое, что и современная идея, здесь он смешивает уравнение Гамильтона-Якоби с экстремумом функционала действия вместо того, чтобы просто экстремировать исходный лагранжиан или гамильтониан, аналогично современной квантовой механике, смешивающей гамильтониан с изменениями переменные в HJ PDE (через скобки Пуассона).
Что происходит в этой большой головоломке? Почему мы должны начать смешивать все наши части, почему мы не можем просто точно скопировать классическую механику - мы все равно находимся на каком-то уровне, насколько я понимаю... Я могу понять эти вещи, если они просто удобны трюки, как вы могли бы сказать, что вызов HJ PDE - это просто трюк для работы с лагранжианами и гамильтонианами, но я почти уверен, что утверждение состоит в том, что процесс квантования просто должен быть выполнен, один шаг просто абсолютно необходим, вы просто не может следовать классическим идеям, хотя из того, что я сказал, мы в основном просто делаем классические вещи - окольными путями. Вероятно, это как-то связано с комплексными числами, по крайней мере, частично, как упоминалось в примечании на странице 276 здесь ., но я понятия не имею, как это увидеть, и первоначальный вывод Шредингера не предполагал их, поэтому я запутался в этом.
Чтобы сделать мои вопросы о квантовании явными, если они не очевидны из того, что я написал выше:
а) Зачем нужно делать алгебру из смешения гамильтониана со скобками Пуассона?
(Где этот вопрос подчеркивает интерпретацию гамильтониана как лагранжиана только с другими координатами и скобки Пуассона как условия изменения переменных в уравнении Гамильтона-Якоби, так что мы делаем связь с CM явной)
б) Почему нельзя смоделировать квантовую механику путем экстремума лагранжиана или решения HJ PDE?
(Из моего объяснения выше кажется, что квантование в любом случае переносит эти идеи в формализм, просто смешивая их вместе в некотором векторном пространстве)
в) Как комплексные числа связаны с этим процессом?
(Являются ли они причиной того, что квантовая механика радикально отличается от классической механики. Если да, то как это выпадает из процедуры как неизбежное?)
Извините, если это неясно из того, что я написал, но я чувствую, что то, что я написал, абсолютно необходимо для моего вопроса.
Изменить: на части b) и c) дан хороший ответ, поэтому часть a) - это все, что осталось, и решение, похоже, заключается в этомстатья, которая выводит зависящее от времени уравнение Шредингера (TDSE) из TISE. Другими словами, ТИСЭ, по-видимому, выведена из классических механических принципов, как это сделал Шредингер, затем в какой-то момент в сложном выводе со страницы 12 авторы достигают точки, в которой квантово-механические предположения становятся абсолютно необходимыми, и, по-видимому, это причина, по которой человек принимает тонны аксиом и чувствует себя комфортно при построении гильбертовых пространств и т. д. Таким образом, выяснение того, как этот вывод необратимо приводит к квантово-механическим предположениям, должен оправдать необходимость квантования, но я не могу понять это из моего плохо понятого прочтения вывода. Понимание этого, по-видимому, является ключом к QM, если только я не
Относительно пункта c) о том, как комплексные числа входят в квантовую теорию:
У этого есть прекрасное концептуальное объяснение, я думаю, применяя теорию Ли к классической механике. Следующее взято из того, что я написал на nLab по квантованию - Мотивация из классической механики и теории Ли . См. там дополнительные указатели и подробности:
Квантование, конечно, было и остается мотивированным экспериментом, а значит, наблюдением за наблюдаемой Вселенной: так уж получилось, что квантовая механика и квантовая теория поля правильно объясняют экспериментальные наблюдения, в то время как классическая механика и классическая теория поля не дают ответа или дают неверные ответы. Исторически важным примером является явление, называемое «ультрафиолетовой катастрофой», парадокс, предсказанный классической статистической механикой, не наблюдаемый в природе и корректируемый квантовой механикой.
Но можно также спросить, независимо от экспериментальных данных, есть ли веские формальные математические причины и мотивы для перехода от классической механики к квантовой механике. Можно ли было прийти к квантовой механике, просто размышляя о математическом формализме классической механики? (Отсюда точнее: существует ли естественная синтетическая квантовая теория поля?)
Ниже приводится аргумент на этот счет. Он будет полезен для читателей, знакомых с современной математикой, в частности, с теорией Ли, и с пониманием формализации классической/доквантовой механики в терминах симплектической геометрии.
Итак, если кратко напомнить, система классической механики/доквантовой механики представляет собой фазовое пространство, формализованное как симплектическое многообразие (X,ω). Симплектическое многообразие — это, в частности, многообразие Пуассона, что означает, что алгебра функций на фазовом пространстве X, а значит, и алгебра классических наблюдаемых, канонически снабжена согласованной скобкой Ли: скобкой Пуассона. Эта скобка Ли управляет динамикой в классической механике. Например, если H∈C ∞(X) — функция на фазовом пространстве, которая интерпретируется как приписывающая каждой конфигурации системы ее энергию — функцию Гамильтона, — тогда скобка Пуассона с H дает инфинитезимальную эволюцию системы во времени: дифференциальное уравнение, известное как уравнения Гамильтона.
Здесь следует обратить внимание на бесконечно малый характер скобки Пуассона. Как правило, всякий раз, когда у вас есть алгебра Ли 𝔤, ее следует рассматривать как бесконечно малую аппроксимацию глобально определенного объекта, соответствующей группы Ли (или вообще гладкой группы) G. Также говорят, что G является интеграцией Ли 𝔤 и что 𝔤 — это дифференцирование Ли группы G.
Поэтому возникает естественный вопрос: поскольку наблюдаемые в классической механике образуют алгебру Ли относительно скобки Пуассона, что тогда представляет собой соответствующая группа Ли?
Ответ на этот вопрос, конечно, «хорошо известен» в литературе, в том смысле, что существуют соответствующие монографии, в которых содержится ответ. Но, как ни странно, ответ на этот вопрос не является (на момент написания этой статьи) широко разрекламированным фактом, который нашел свое отражение в основных учебных пособиях. Ответ заключается в том, что эта группа Ли, которая интегрирует скобку Пуассона, является «группой квантовых морфизмов», объектом, который плавно ведет к квантовой механике системы.
Прежде чем мы расскажем об этом более подробно, нам нужно краткое техническое отступление: конечно, интеграция Ли не совсем уникальна. Могут быть разные глобальные групповые объекты Ли с одной и той же алгеброй Ли.
Самый простой пример этого уже имеет центральное значение для проблемы квантования, а именно интегрирование по Ли абелевой линейной алгебры Ли ℝ. С этим связаны по существу две разные группы Ли: односвязная группа переносов, которая снова является просто ℝ самой собой, снабженной своей канонической аддитивной структурой абелевой группы, и дискретный фактор этого по группе целых чисел, которая является группой круга U(1)=ℝ/ℤ. Обратите внимание, что именно дискретная и, следовательно, «квантованная» природа целых чисел превращает реальную линию в круг. Это не совсем совпадение терминологии, но его можно проследить до сути того, что «квантуется» в квантовой механике.
А именно, получается, что алгебра Ли скобки Пуассона 𝔭𝔬𝔦𝔰𝔰(X,ω) классических наблюдаемых на фазовом пространстве является (для X связным многообразием) расширением алгебры Ли алгебры Ли 𝔥𝔞𝔪(X) гамильтоновых векторных полей на X посредством линейная алгебра Ли: ℝ⟶𝔭𝔬𝔦𝔰𝔰(X,ω)⟶𝔥𝔞𝔪(X). Это означает, что при интегрировании по Ли скобка Пуассона превращается в центральное расширение группы гамильтоновых симплектоморфизмов (X,ω). И либо это довольно тривиальное некомпактное расширение с помощью ℝ, либо это интересное центральное расширение с помощью группы окружностей U(1). Чтобы эта нетривиальная интеграция Ли существовала, (X, ω) должно удовлетворять условию квантования, которое говорит, что оно допускает предквантовое линейное расслоение. Если да, то это U(1)-центральное расширение группы Ham(X, ω) гамильтоновых симплектоморфизмов существует и называется… группой квантоморфизмов QuantMorph(X,ω): U(1)⟶QuantMorph(X,ω)⟶Ham(X,ω). Хотя эта группа важна, по какой-то причине она не очень хорошо известна, что поразительно, поскольку она содержит небольшую подгруппу, известную в квантовой механике: группу Гейзенберга.
Точнее, всякий раз, когда (X, ω) само по себе имеет совместимую групповую структуру, в частности, если (X, ω) является просто симплектическим векторным пространством (рассматриваемым как группа при сложении векторов), то мы можем запросить подгруппу квантоморфизма группа, покрывающая (левое) действие фазового пространства (X,ω) на себя. Это соответствующая группа Гейзенберга Heis(X,ω), которая, в свою очередь, является U(1)-центральным расширением самой группы X: U(1)⟶Heis(X,ω)⟶X. Здесь стоит на секунду остановиться, чтобы отметить, как отличительная черта квантовой механики появилась словно из ниоткуда, просто применяя интегрирование Ли к алгебраическим структурам Ли в классической механике:
если мы подумаем о Ли, интегрирующем ℝ в интересную группу кругов U (1) вместо неинтересной группы переводов ℝ, то имя ее канонического базисного элемента 1∈ℝ канонически «i», мнимая единица. Поэтому вышеприведенное центральное расширение часто вместо этого записывают следующим образом: iℝ⟶𝔭𝔬𝔦𝔰𝔰(X,ω)⟶𝔥𝔞𝔪(X,ω), чтобы усилить это. Но теперь рассмотрим простой частный случай, когда (X,ω)=(ℝ 2,dp∧dq) — двумерное симплектическое векторное пространство, которое, например, является фазовым пространством частицы, распространяющейся по прямой. Тогда канонический набор образующих для соответствующей скобки Пуассона алгебры Ли состоит из линейных функций p и q, известных из учебников классической механики, вместе с постоянной функцией. В соответствии с вышеупомянутой теоретической идентификацией Ли эта постоянная функция является каноническим базисным элементом iℝ,
Тогда при этих обозначениях скобка Пуассона, записанная в форме, делающей очевидной ее интеграцию по Ли, действительно читается как [q,p]=i. Поскольку выбор базисного элемента iℝ произволен, мы можем масштабировать здесь i на любое ненулевое действительное число без изменения этого утверждения. Если мы напишем «ℏ» для этого элемента, то скобка Пуассона вместо этого будет читать [q,p]=iℏ. Это, конечно, ключевое уравнение для квантовой физики, если мы действительно интерпретируем здесь ℏ как постоянную Планка. Мы видим, что оно возникает здесь просто при рассмотрении нетривиального (интересного, неодносвязного) интегрирования по Ли скобки Пуассона.
Это только начало истории квантования, естественно понятого и действительно «выведенного» из применения теории Ли к классической механике. Отсюда история продолжается. Это называется история геометрического квантования. Мы закрываем этот раздел мотивации кратким обзором.
Группа квантоморфизмов, представляющая собой нетривиальное интегрирование по Ли скобки Пуассона, естественно строится следующим образом: для заданной симплектической формы ω естественно задаться вопросом, является ли она 2-формой кривизны U(1)-главной связности ∇ на комплексном линейном расслоении L над X (это прямо аналогично дираковскому квантованию заряда, когда вместо симплектической формы на фазовом пространстве мы рассматриваем 2-форму напряженности поля электромагнетизма в пространстве-времени). Если да, то такая связность (L,∇) называется предквантовым линейным расслоением фазового пространства (X,ω). Группа квантоморфизмов — это просто группа автоморфизмов предквантового линейного расслоения, покрывающая диффеоморфизмы фазового пространства (упомянутые выше гамильтоновы симплектоморфизмы).
Таким образом, группа квантовых морфизмов естественным образом действует на пространстве сечений L. Такое сечение похоже на волновую функцию, за исключением того, что оно зависит от всего фазового пространства, а не только от «канонических координат». По чисто абстрактным математическим причинам (которые мы не будем здесь обсуждать, но подробнее рассмотрим мотивное квантование) действительно естественно выбрать «поляризацию» фазового пространства в канонические координаты и канонические импульсы и рассматривать только те участки предквантовой линии расслоение, которое зависит только от первого. Это настоящие волновые функции квантовой механики, отсюда и квантовые состояния. А подгруппа группы квантовых морфизмов, сохраняющая эти поляризованные сечения, — это группа возведенных в степень квантовых наблюдаемых. Например, в упомянутом ранее простом случае, когда (X,ω) — двумерное симплектическое векторное пространство,
Я превращаю свои комментарии в ответ:
По моему мнению, ваше замешательство возникает из-за того, что вы предполагаете, что классическая механика является базовой структурой физики или, по крайней мере, инструментом, необходимым для описания природы. Люди, близкие к экспериментальным результатам, понимают, что именно экспериментальные результаты требуют инструментов, необходимых для описания измерений, формулирования теории и предсказания новых измерений, у них нет этой проблемы. Ответ @MichaelBrown близок к тому, что я имею в виду. Именно классическая механика является производной от квантовой механики, а не наоборот. Классическая механика возникает из квантовой механики, а не наоборот
Пример: подумайте о человеческом теле до открытия микроскопа. Существовал «классический» взгляд на то, что такое тело. Эксперименты могли видеть и описывать только макроскопические эффекты. Когда был открыт микроскоп, теория клеток, составляющих человеческое тело, и сложных функций, воздействующих на него, конечно же, стала основной структурой, а старая схема — ее предельным случаем.
То, что теории физики используют математику в качестве инструментов, сбивает вас с толку, потому что математика такая элегантная. Но мы исследуем физическую структуру, а не математическую элегантность.
Существует соответствующий древнегреческий миф о Прокрустиде :
у него была железная кровать, в которую он приглашал всех прохожих переночевать и где он принялся работать над ними своим кузнечным молотом, растягивая их по размеру. В более поздних рассказах, если гость оказывался слишком высоким, Прокруст ампутировал лишнюю длину.
Если мы попытаемся наложить математику классической механики на микроскопические данные, мы воспользуемся логикой Прокруста, пытаясь подогнать данные к ложу, а не найти ложе, которое соответствует данным.
Относительно пункта б) :
Квантовую механику можно сформулировать путем экстремума действия и использования теории Гамильтона-Лагранжа-Якоби.
Это простой, но явно недооцененный факт: уравнение Шрёдингера определяет гамильтонов поток на комплексном проективном пространстве. Краткое изложение этого факта однажды было размещено здесь:
Подробнее об этом в
а также
я думаю, что тот факт, что квантовая механика действительно может быть сформулирована как экстремум Лангранжа (как почти любое дифференциальное уравнение, просто обратный процесс дифференциального уравнения и теоремы Эйлера-Лагранжа), уже получил хороший ответ.
Другой аспект процесса «квантования» заключается в следующем:
Как мы можем взять «статическое» отношение/уравнение и преобразовать его в процесс.
Сложно? Подумайте об этом так: как мы можем найти решение этого уравнения: F(x) = x ?
если прямое решение затруднено, всегда можно использовать уравнение как «процесс» (при условии, что функция f() является «липшичской»)
Это превратило уравнение в процесс/алгоритм, как это связано с квантовой механикой и квантованием?
Квантовая механика делает именно это (в значительной степени). Берет «классический» эвкатон и превращает «статические переменные» в «операторы» (процессы).
Так что эта часть вопроса может иметь этот ответ.
Более интересный вопрос: почему это работает (фактически только для определенного выбора систем координат)?
Как они (первопроходцы квантовой механики) думали об этом, не потому ли, что она сохраняет те же самые «классические» соотношения (вероятно)?
Можно ли это обобщить или преобразовать в нечто менее запутанное?
PS Для дальнейшего анализа квантовой механики и ее связи с другими процессами см. также этот другой мой пост https://math.stackexchange.com/a/782596/139391 .
В классической механике решениями уравнений движения являются детерминированные траектории системы. В квантовой механике, если является решением EOM, тогда есть вероятность найти частицу между а также . Чтобы иметь QM, вам нужно дополнить EOM этим (и гермитичностью наблюдаемых).
Кажется, что первоначальный вывод Шредингера был из уравнения Шредингера, не зависящего от времени, и в своей статье он не упоминает уравнение Шредингера, зависящее от времени. Таким образом, насколько я вижу, этот процесс не относится к версии, зависящей от времени, и проблема, по-видимому, неразрешима :( Хорошее обсуждение этого дано здесь .
Изменить: я больше не уверен, что это правильно, эта статья, на которую я ссылаюсь, значительно усложнила мой вопрос. В статье предполагается, что вывод Шредингера действителен, и из него выводится зависящее от времени SE, поэтому, по-видимому, все причины, по которым нужно принимать аксиомы и т. Д. ..., оправдываются этим выводом или делаются излишними - я понятия не имею, это теперь в центре внимания моей темы кажется.
пользователь26143
Селена Рутли
больбтеппа
Селена Рутли
пользователь26143
больбтеппа
больбтеппа
больбтеппа
Майкл
больбтеппа
больбтеппа
больбтеппа
Qмеханик
больбтеппа