Правило порядка Вейля

Пусть операторы положения и импульса в$n$измерения фазового пространства будут обозначаться вместе$\hat{Z}^I$, и пусть соответствующие символы обозначаются$z^{I}$, куда$I\in\{1,\ldots,n\}$. Оператор$\hat{f}(\hat{Z})$соответствующий символу Вейля $f(z)$является

$$\hat{f}(\hat{Z})~\stackrel{\begin{matrix}\text{symmetri-}\\ \text{zation}\end{matrix}}{=}~ \left.\sum_{m=0}^{\infty}\frac{1}{m!}\left[\hat{Z}^1\frac{\partial}{\partial z^1}+\ldots +\hat{Z}^n\frac{\partial}{\partial z^n} \right]^m f(z)\right|_{z=0} \qquad$$ $$~\stackrel{\begin{matrix}\text{Taylor}\\ \text{expan.}\end{matrix}}{=}~ \left.\exp\left[\sum_{I=1}^n\hat{Z}^I\frac{\partial}{\partial z^I}\right] f(z)\right|_{z=0} \qquad$$ $$~=~\int_{\mathbb{R}^{n}} \! d^{n}z~\delta^{n}(z)~ \exp\left[\sum_{I=1}^n\hat{Z}^I\frac{\partial}{\partial z^I}\right] f(z)$$ $$~\stackrel{\delta\text{-fct}}{=}~\int_{\mathbb{R}^{2n}} \! \frac{d^{n}z~d^{n}k}{(2\pi)^{n}} \exp\left[-i\sum_{J=1}^n k_Jz^J\right] \exp\left[\sum_{I=1}^n \hat{Z}^I\frac{\partial}{\partial z^I}\right] f(z)$$ $$~\stackrel{\text{int. by parts}}{=}~\int_{\mathbb{R}^{2n}} \! \frac{d^{n}z~d^{n}k}{(2\pi)^{n}} f(z)~ \exp\left[-\sum_{I=1}^n\hat{Z}^I\frac{\partial}{\partial z^I}\right] \exp\left[-i\sum_{J=1}^n k_Jz^J\right]$$ $$~=~\int_{\mathbb{R}^{2n}} \! \frac{d^{n}z~d^{n}k}{(2\pi)^{n}} f(z)~ \exp\left[i\sum_{I=1}^n k_I\hat{Z}^I\right] \exp\left[-i\sum_{J=1}^n k_Jz^J\right]$$ $$~\stackrel{\text{BCH}}{=}~\int_{\mathbb{R}^{2n}} \! \frac{d^{n}z~d^{n}k}{(2\pi)^{n}} f(z)~ \exp\left[i\sum_{I=1}^n k_I(\hat{Z}^I-z^I)\right].$$

Описанные выше манипуляции имеют смысл для достаточно хорошо работающей функции$z\mapsto f(z)$.

Пример: если символ Вейля имеет вид$f(z)=g\left(\sum_{I=1}^n k_I z^I\right)$для некоторой аналитической функции$g:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$, то соответствующий оператор есть$\hat{f}(\hat{Z})=g\left(\sum_{I=1}^n k_I\hat{Z}^I\right)$.

Основное свойство упорядочения Вейля, порождающее все тождества упорядочения Вейля для полиномиальных функций:

$$((sq+tp)^n)_W = (sQ+tP)^n$$ $(q, p)$- коммутирующие переменные фазового пространства,$(Q, P)$являются соответствующими некоммутирующими операторами (удовлетворяющими$[Q,P] = i\hbar$).

Например, при n = 2 тождество, исходящее из коэффициента при$st$термин является известным основным тождеством порядка Вейля:

$$(qp)_W = \frac{1}{2}(QP+PQ)$$

Выбрав классический гамильтониан в качестве$h(p,q) = (sq+tp)^n$и тщательно выполняя преобразование Фурье и обратное преобразование Фурье, получаем тождество Вейля:

$$\int {dx\over2\pi}{dk\over2\pi} e^{ixP + ikQ} \int dpdqe^{-ixp-ikq} (sq+tp)^n =(sQ+tP)^n$$

Интеграл Фурье можно решить после замены переменных:

$$l = sq+tp, m = tq-sp$$ и используя тождество $$\int dl e^{-iul} l^n =2 \pi \frac{\partial^n}{\partial v^n} \delta_D(v)|_{v=u}$$ Где$\delta_D$– дельта-функция Дирака.

Другой способ посмотреть на это:

$e^{ix\hat{P}+ik\hat{Q}}$автоматически упорядочена по Вейлю. Это связано с тем, что каждый член разложения Тейлора$\frac{1}{n!}(ix\hat{P}+ik\hat{Q})^n$, упорядочена по Вейлю. Вы можете увидеть это, просто перемножив термины. Например,

$$(\hat{P}+\hat{Q})(\hat{P}+\hat{Q})=\hat{P}^2+\hat{P}\hat{Q}+\hat{Q}\hat{P}+\hat{Q}^2.$$ В более общем случае, если$\hat{P}^m\hat{Q}^l\hat{P}^p\cdots$это термин в$(\hat{P}+\hat{Q})^n$, то каждая уникальная перестановка этих факторов также является термином в$(\hat{P}+\hat{Q})^n$.

Поэтому, если мы возьмем преобразование Фурье классического гамильтониана,

$$\int dp\,dq\,e^{-ixp-ikq}\,H(p,q),$$ а затем произвести обратное преобразование Фурье, только заменив переменные$p$а также$q$с операторами, $$\int {dx\over2\pi}\,{dk\over2\pi}\, e^{ix\hat{P} + ik\hat{Q}} \int dp\,dq\,e^{-ixp-ikq}\,H(p,q),$$ мы получаем гамильтониан$\hat{H}(\hat{P},\hat{Q})$который упорядочен по Вейлю и естественным образом связан с классическим гамильтонианом.