Почему лагранжев подход предпочтительнее гамильтонова в КТП? [дубликат]

Предположение в вопросе не совсем точно, поскольку каноническая формулировка КТП действительно использует гамильтониан.

В КТП гамильтониан теперь имеет операторы поля, а собственные состояния теперь являются функционалами. В обычной волновой механике волновые функции — это вещественные функции, которые являются функциями положения и времени. В КТП «волновые функции» становятся волновыми функционалами: плотность вероятности принимает время и волновые функции (а не положение) как независимые переменные. Представьте, что у вас есть гамильтониан одного гармонического осциллятора:$H_{i}=P^{2}/2m+m\omega Q^{2}/2$. Теперь добавьте несколько гармонических осцилляторов:$H=\sum H_{i}+ V_{int}$. Таким образом, теперь у вас есть много операторов импульса и положения в вашем конфигурационном пространстве. Поля имеют бесконечное число «гармонических осцилляторов» и, следовательно, бесконечное число степеней свободы в конфигурационном пространстве. Таким образом, вместо множества позиционных операторов у нас есть неисчислимое бесконечное их количество, которым нужна метка, кроме$i$который мы использовали выше: теперь мы используем$x$в качестве параметра поля (совсем отличного от оператора), и наша волновая функция становится волновым функционалом, который принимает поля, параметризованные положением и временем.

Вот отличный справочник, описывающий этот процесс: https://physics.ucsd.edu/students/courses/fall2015/physics200a/Hamiltonian%20Formulations%20for%20Continuua-RFS.pdf .

Теперь иметь дело с функциональным уравнением Шрёдингера совсем не весело: http://arxiv.org/abs/hep-th/9306161

Таким образом, это одна из причин: необходимость использовать функциональное уравнение Шрёдингера затруднена.

Вторая причина: очевидная лоренц-инвариантность лагранжиана, поскольку время и пространство трактуются одинаково, в отличие от гамильтониана, который выделяет лишнюю производную по времени как особую.

Третья причина: хотя каноническая формулировка КТП использует гамильтониан, когда мы накладываем коммутационные соотношения полей в свободном гамильтониане, мы получаем гораздо более простой гамильтониан как функцию операторов рождения и уничтожения (обходя трудности использования функционала Шредингера) . уравнение), но это не так элегантно, как концептуальное суммирование по всем конфигурациям полей, что, как мы думаем, на самом деле происходит в КМ.

Вот что пришло мне в голову на данный момент.

В физике элементарных частиц, где необходимы квантово-механические формализмы, в данных важное место занимают симметрии и законы сохранения. Лагранжиан связан с теоремой Нётер, которая четко дает из него сохраняющиеся величины и симметрии, возникающие из данных: SU(3)xSU(2)xU(1).

Этот вопрос имеет отношение к своего рода теореме Нётер для гамитониана

Я считаю, что "математическая простота" является ответом.

Чтобы добавить к ответу @SalehHamdan (с чем я полностью согласен).

Другая причина, по которой интегралы по траекториям доминируют в области методов расчета КТП, заключается в том, что нас интересуют в первую очередь функции Грина, которые зависят от пространства-времени и имеют ясное значение с точки зрения формализма интегралов по траекториям.

Напротив, в КМ нас не интересуют функции Грина. Возьмем, к примеру, гармонический осциллятор. Соответствующая функция Грина зависит от двух моментов времени и, таким образом, не дает пространственной информации. Ее нельзя интерпретировать как амплитуду вероятности обмена частицами между двумя точками пространства-времени, так как она не зависит от пространственных координат!

Таким образом, при первом квантовании нас интересуют величины другого рода (например, матричные элементы оператора эволюции). И это именно те проблемы, которые удобно решать в формализме канонического квантования.

Лагранжев формализм делает лоренц-инвариантность теории более прозрачной. Гамильтонов формализм, хотя и является существенно ковариантным, формально нарушает лоренц-инвариантность. Более подробно вы можете прочитать S. Weinberg, The Quantum Theory of Fields (1995), ch. 7,9.