Каноническое квантование зависящих от времени лагранжианов

у меня лагранжиан

л ( Икс а , Икс ˙ а , т ) ,

невырожденный, квадратичный по полям и содержащий явную зависимость от параметра эволюции т .

Если л не зависит от времени, я бы следовал следующему алгоритму, чтобы вывести квантовую теорию:

  1. Определим канонические импульсы как п а "=" ∂ л / ∂ Икс ˙ а и фазовое пространство как декомпактифицированный предел симплектических многообразий с канонической симплектической формой, заданной формулой { Икс а , п б } "=" дельта б а .
  2. Найдите линейную комбинацию а а "=" α Икс а + β п а такой, что { а а , а * б } "=" ( я ℏ ) − 1 дельта б а .
  3. Продвигать а и а * операторам а ^ и а ^ † и определить | 0 ⟩ как элемент гильбертова пространства, аннулируемый всеми а ^ .
  4. Построить прямое представление а ^ , а ^ † на ЧАС используя коммутационное соотношение [ а ^ , а ^ † ] "=" 1 и переинтерпретировать а ^ , а ^ † как операторы уничтожения и созидания.
  5. Для любой классической наблюдаемой используйте карту квантования Вейля, чтобы назначить ей оператор. Потому что а и а * линейны в Икс и п , карта квантования Вейля обеспечивает выполнение того же соотношения для операторов, тем самым доказывая непротиворечивость схемы квантования. Перевыразите все результирующие операторы в терминах а ^ и а ^ † чтобы получить их явное представление на ЧАС .

Это хорошо работает для невырожденного квадратичного Икс , Икс ˙ лагранжианы без явного т зависимость.

Я хочу знать, как рецепт, приведенный выше, меняется (и можно ли его вообще использовать), когда л содержит явную зависимость от времени. Для простоты предположим, что оно по-прежнему невырожденное и квадратичное по Икс , Икс ˙ .

Если вам нужен общий рецепт канонического квантования (такой, где переменные могут иметь любую четность Грассмана, быть определены на произвольном многообразии, где лагранжиан совершенно произволен, система может иметь любые ограничения и/или калибровочные симметрии и т. ), необходимо ввести скобку Пайерлса-ДеВитта, которая заменяет скобку Пуассона и является гораздо более мощной. Процедура по существу эквивалентна, но превращает скобку П-ДВ в суперкоммутатор вместо пуассоновской. Вы найдете отличное обсуждение книги ДеВитта «Глобальный подход к квантовой теории поля».
Из любопытства, почему вы рекламируете а , а * операторам на шаге 3? Я заметил, что так делают все, но для меня гораздо разумнее продвигать Икс , п операторам прямо на шаге 1. Зачем ждать? Формулируйте теорию как квантовую теорию с самого начала!
@AccidentalFourierTransform спасибо за ссылку, но книга находится за платным доступом. Я был бы признателен, если бы вы могли набросать, как его использовать в ответе на этот вопрос. Я был бы особенно рад, если бы вы могли сначала объяснить, как ввести скобку в самом общем случае (произвольное пространственно-временное многообразие, любой вид лагранжиана, любая четность и т. д.), а затем кратко объяснить аспекты, относящиеся к моему вопросу здесь.
@AccidentalFourierTransform, если вас устраивает алгебраический подход к квантовой теории, то да, вы можете продвигать Икс и п к С * алгебру сразу, а затем вывести ее представление. Однако в некоторых случаях (не связанных с рассматриваемым вопросом) эта последняя часть очень сложна: может быть несколько представлений, и всегда трудно найти то, которое физически релевантно. С использованием а и а * обеспечивает правильное построение гильбертова пространства по квантованию и явное представление всех операторов на нем. Я нахожу это приятным.
Ах, если бы я мог. Общее определение скобки P-DW гораздо более сложное, чем определение скобки P, и, хотя я знаком с общей картиной, я не помню деталей. Кроме того, концепция настолько богата и интересна, что заслуживает более тщательного обсуждения, чем то, что можно написать в ответе здесь. Просто чтобы вы знали, если вы хотите скачать PDF-файл, он находится в Library Genesis (ДеВитт не получит никаких денег, если вы все равно его купите...)
@AccidentalFourierTransform тем не менее, если бы вы могли набросать общую картину, я был бы очень признателен (включая голосование :)). Но без давления

Ответы (1)

Квантование — огромная тема, ср. например, ссылка 1. Поскольку OP, кажется, интересуется классической гамильтоновой формулировкой сама по себе, кажется естественным разделить задачу на 2 части:

  1. Преобразование Лежандра от лагранжевой к классической гамильтоновой формулировке.

  2. Квантовать формулировку Гамильтона, используя, например, действительные переменные ( д я , п я ) или комплексные переменные ( а я , а я * ) .

Явная временная зависимость принципиально не меняет этот рецепт.

Использованная литература:

  1. М. Хенно и К. Тейтельбойм, Квантование калибровочных систем, 1994.
1. Не могли бы вы быть более конкретным, пожалуйста? 2. Вы предполагаете, что фазовое пространство (пространство решений уравнений движения) по-прежнему описывается формулой ( Икс , п ) для начального времени с канонической скобкой Пуассона? 3. И такое же определение п ?
2. Это один из способов взглянуть на это. 3. Поскольку я предполагаю гамильтонову формулировку, п я являются независимыми переменными.
Каноническое квантование зависящих от времени лагранжианов
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v