Вывод лагранжевого интеграла по траекториям из гамильтонова интеграла по траекториям

Question

Вывод лагранжевого интеграла по траекториям из гамильтонова интеграла по траекториям

1МегаМэн1

Мой вопрос касается двух версий интеграла по путям, гамильтониана и лагранжиана, которые появляются в большинстве выводов квантовой механики интеграла по путям, но конкретно в этом случае вывод, представленный в Altland and Simons pg. 98-101.

Они считают распространителем $\langle x_f, t_f |\ U\left(t_f; t_i\right) | x_i, t_i \rangle$ , дискретизировать путь и оператор временной эволюции $U$ в $N$ шаги и вставить много тождеств формы $\int dx |x \rangle\langle x|$ и $\int dp |p \rangle\langle p|$ чтобы получить выражение для пропагатора, заданное следующим образом:

\begin{matrix} (1) & ⟨ {Икс}_{ф}, т_{ф} | U (т_{ф}; т_{я}) | {Икс}_{я}, т_{я} ⟩ "=" \int Д Икс опыт [\frac{я}{ℏ} \int_{0}^{т} г т^{'} (п \dot{д} - ЧАС (п, д))] с ЧАС "=" Т + В \end{matrix}

$\langle x_f, t_f |\ U\left(t_f; t_i\right) | x_i, t_i \rangle = \int \mathcal{Dx} \exp \left[ \frac{i}{\hbar} \int_0^t dt' ( p \dot q - H(p,q) ) \right] \ \ \text{with} H = T+V \tag{1}$

где $\mathcal{Dx}$ означает интеграл по путям по ОБОИМ $p$ и $q$ , т.е. $\mathcal{Dx} = \lim_{N \to \infty} dq_1...dq_N dp_1...dp_N$ . Они называют это интегралом гамильтониана/фазового пространственного пути, и это, по-видимому, стандартный способ его вывода из различной литературы.

Затем они проводят связь с классическим гамильтонианом и лагранжианом, где $L = p\dot{q} - H(p,q)$ и вдохновленные этим, они решили найти лагранжев интеграл по траекториям. Ограничиваясь гамильтонианами, квадратичными по $p$ они выполняют $p$ интегралы от $\mathcal{Dx}$ и найдите интеграл по путям с выражением в показателе степени, которое можно идентифицировать как классический лагранжиан:

\begin{matrix} (2) & ⟨ {Икс}_{ф}, т_{ф} | U (т_{ф}; т_{я}) | {Икс}_{я}, т_{я} ⟩ "=" \int Д д опыт [\frac{я}{ℏ} \int_{0}^{т} г т^{'} л (д, \dot{д})] с л "=" Т - В \end{matrix}

$\langle x_f, t_f |\ U\left(t_f; t_i\right) | x_i, t_i \rangle = \int \mathcal{Dq} \exp \left[ \frac{i}{\hbar} \int_0^t dt' L(q,\dot{q}) \right] \ \ \text{with} \ \ L = T - V \tag{2}$

который они соответствующим образом называют интегралом лагранжиана/пространства конфигурации , который также кажется стандартным способом его получения.

Мой вопрос:

Учитывая, что при выводе мы заменили все операторы $\hat p$ и $\hat q$ с «действительными значениями» вдоль пути в фазовом пространстве, почему мы не можем просто напрямую идентифицировать $L = p\dot{q} - H(p,q)$ и применить то, что мы узнали из лагранжевой механики, чтобы сразу написать $L = T-V$ в экв. (1) без необходимости делать громоздкие $p$ интегралы? Очевидно, это дало бы нам нечто отличное от equ. (2):

\begin{matrix} (3) & ⟨ {Икс}_{ф}, т_{ф} | U (т_{ф}; т_{я}) | {Икс}_{я}, т_{я} ⟩ "=" \int Д Икс опыт [\frac{я}{ℏ} \int_{0}^{т} г т^{'} (л (д, \dot{д})] \end{matrix}

$\langle x_f, t_f |\ U\left(t_f; t_i\right) | x_i, t_i \rangle = \int \mathcal{Dx} \exp \left[ \frac{i}{\hbar} \int_0^t dt' ( L(q,\dot q ) \right] \tag{3}$

СлучайныйПреобразование Фурье

лагранжиан

= L (q, \dot{q}) \neq

$=L(q,\dot q)\neq$ гамильтоновский лагранжиан

= L_{H} (q, p) := p \dot{q} - H (q, p)

$=L_H(q,p):=p\dot q-H(q,p)$ .

Qмеханик

Небольшой комментарий к сообщению (v2): LHS eqs. (1)-(3) в Altland & Simons

⟨ q_{f}, t_{f} | U (t_{f}; t_{i}) | q_{i}, t_{i} ⟩

$\langle q_f, t_f |\ U\left(t_f; t_i\right) | q_i, t_i \rangle$ нет

⟨ x_{f}, t_{f} | U (t_{f}; t_{i}) | x_{i}, t_{i} ⟩

$\langle x_f, t_f |\ U\left(t_f; t_i\right) | x_i, t_i \rangle$ .

лалала

Выполнение интегрирования dp в интеграле по путям дает вам только 1/2 m xdot ^ 2, если H = p ^ 2/2m + V (x) (что является интегралом Гаусса). Удивительно, но есть разница для общего H.

Куильо

связанные: physics.stackexchange.com/q/637531/226902 и physics.stackexchange.com/q/134714/226902

Ответы (2)

Вывод лагранжевого интеграла по траекториям из гамильтонова интеграла по траекториям

лагранжиан $=L(q,\dot q)\neq$ гамильтоновский лагранжиан $=L_H(q,p):=p\dot q-H(q,p)$ .
Небольшой комментарий к сообщению (v2): LHS eqs. (1)-(3) в Altland & Simons $\langle q_f, t_f |\ U\left(t_f; t_i\right) | q_i, t_i \rangle$ нет $\langle x_f, t_f |\ U\left(t_f; t_i\right) | x_i, t_i \rangle$ .
Выполнение интегрирования dp в интеграле по путям дает вам только 1/2 m xdot ^ 2, если H = p ^ 2/2m + V (x) (что является интегралом Гаусса). Удивительно, но есть разница для общего H.
связанные: physics.stackexchange.com/q/637531/226902 и physics.stackexchange.com/q/134714/226902

Qмеханик · Answer 1

Ну, есть масса причин. Упомянем лишь некоторые:

В интеграле по путям Фейнмана следует суммировать по всем историям/конфигурациям вне оболочки, а не просто вставлять стационарные значения.
Если мы начнем с лагранжевого интеграла по траекториям, то на уровне строгости физики нам пришлось бы вручную вводить специальный фейнмановский фиктивный фактор, ср. например, этот пост Phys.SE. С другой стороны, этот фальшивый фактор аккуратно объясняется гамильтоновым интегралом по траекториям через гауссову $p$ -интеграции.
Лагранжева кинетическая энергия более тонкая, чем ее гамильтонова аналог, из-за предписания временного порядка, ср. например, этот ответ Phys.SE.

ТБиссингер · Answer 2

Я думаю, что ключевой вопрос заключается в том, что вы уже указали в своем последнем абзаце. Подынтегральная функция, то есть $e^{iS}$ часть, не является единственным результатом вывода формулы континуального интеграла. Другим не менее важным компонентом, который необходимо получить, является мера пути. ${\cal D}q$ или ${\cal D}x$ .

Вполне возможно перейти от одной формулировки к другой, но вам нужно приложить немного больше усилий, чем просто вставить подынтегральную функцию. Когда вы пишете заявление типа $L = p\dot{q} - H(p,q)$ , нужно соблюдать некоторую осторожность. Вы не можете рассмотреть $\dot{q}$ быть независимой переменной в этом отношении. Вы должны использовать преобразование Лежандра, чтобы получить из пары переменных $(q,\dot{q})$ к паре $(q,p)$ , нравиться $p(q,\dot{q}) = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}(q,\dot{q})$ или его инверсия.

При этом, сойдя с пути приподнятой кривой $(q(t),\dot{q}(t))$ к пути в фазовом пространстве $(q(t),p(t))$ , вы меняете координаты, что приводит к изменению меры интегрирования ${\cal D}x$ к ${\cal D}q$ . Немного сложно описать это преобразование интегральных мер только мерами, поэтому обычно проще просто выполнить вывод дважды для двух разных наборов переменных.

Математически это очень похоже на то, что вы должны включать определитель Якоби при изменении координат в нормальном пространстве. $n$ -мерный интеграл

\int_{Φ (Ом)} г {Икс}^{н} ф (Икс) "=" \int_{Ом} г у^{н} | дет Д Φ (у) | ф (Φ (у)) .

$\int_{\Phi(\Omega)}\textrm{d}x^n\, f(x) = \int_{\Omega}\textrm{d}y^n\, |\det D\Phi(y)|f(\Phi(y)).$

Вывод лагранжевого интеграла по траекториям из гамильтонова интеграла по траекториям

1МегаМэн1

СлучайныйПреобразование Фурье

Qмеханик

лалала

Куильо

Ответы (2)

Qмеханик

ТБиссингер

Вывод лагранжевой формы интеграла Фейнмана по траекториям посредством интегрирования по Гауссу

Почему бы не использовать лагранжиан вместо гамильтониана в нерелятивистской КМ?

Принцип наименьшего действия (классическая и квантовая теория)

Есть ли причина, по которой лагранжиан просто появляется в интеграле по путям?

Эволюция Шредингера для уравнения Клейна-Гордона

Связь точки оценки в интеграле по путям с порядковыми неоднозначностями. Пример с частицей в калибровочном поле

Может ли классическое действие для электрона в постоянном магнитном поле быть периодически бесконечностью для различных значений времени?

Почему лагранжев подход предпочтительнее гамильтонова в КТП? [дубликат]

Интегралы пути для произвольных действий?

Имеется ли гамильтониан КТП, существует ли уникальный лагранжиан?