В нерелятивистской квантовой механике квантовые числа связаны с собственными значениями оператора. Например, это квантовое число, связанное с собственным значением оператор орбитального углового момента . Но в квантовой теории поля квантовые числа, как я понимаю, не обязательно связаны с собственными значениями операторов. Например, цветовое квантовое число квантовой хромодинамики (КХД) не связано с собственным значением какого-либо оператора.
Итак, вопрос в том, как мы должны думать о квантовых числах в квантовой теории поля?
Как и в квантовой механике, в КТП все квантовое поле описывается всего одним состоянием в гильбертовом пространстве. Иногда говорят, что частица находится в определенном «состоянии», но это злоупотребление языком. Все поле находится в определенном «состоянии». Частицы — это возбуждения поля, точно так же, как квантовый гармонический осциллятор может иметь квантованные возбужденные энергетические уровни. Это не похоже на то, что одна частица находится в «состоянии» со спином вверх, а другая частица находится в «состоянии» со спином вниз, например. Все поле находится в одном состоянии и имеет как возбуждение со спином вверх, так и возбуждение со спином вниз. Принцип исключения Паули, заключающийся в том, что никакие два фермиона не могут находиться в одном и том же «состоянии», на самом деле является свойством того, чем является гильбертово пространство квантового поля для фермионного поля.
Так что же такое «квантовые числа» в КТП? Конечно, должно быть какое-то представление, согласно которому один электрон может иметь «раскрутку вверх», а другой — «спин вниз». Действительно, квантовые числа в КТП обычно представляют собой просто индексы поля.Эти индексы присутствуют даже на классическом уровне. Например, в поле Дирака есть четыре возможных индекса поля в каждой точке пространства. Они соответствуют электронам со спином вверх, электронам со спином вниз, позитронам со спином вверх и позитронам со спином вниз. (Обычно они не пишутся в базисе, где это ясно, но в принципе именно поэтому существуют четыре степени свободы.) В каком-то смысле есть «классическое поле Дирака», и при квантовании его как фермионного поле, эти четыре степени свободы поля могут быть связаны с четырьмя различными типами частиц, которые вы можете найти в качестве возбуждений вашего квантового поля.
Точно так же вы можете рассмотреть «классическое» поле кварков и «классическое» глюонное поле. Классическое поле кварков будет иметь три дополнительных индекса, соответствующих трем возможным цветам.
Итак, в заключение, «квантовые числа» в КТП соответствуют индексам поля, которые даже присутствуют в классических полевых эквивалентах вашей квантовой теории поля. Частицы — это возбуждения квантовых полей, и вы можете иметь различные типы возбуждений, соответствующие каждому из этих индексов поля.
Нет, квантовые числа всегда связаны с квантовыми операторами. В частности, если имеет значение для квантового числа связанный оператор подчиняется . Квантовая теория поля этого не меняет. Для глобальных симметрий квантовый оператор определяется теоремой Нётер.
Случай, о котором вы говорите, отличается из-за калибровочной симметрии. «Полная краснота» или «полная анти-голубизна» состояния не определены, потому что они зависят от калибра. Точно так же нет квантового оператора.
Анна В