Вывод уравнений Эйлера-Лагранжа из принципов Гамильтона и Даламбера

В книге Гольдштейна по классической механике уравнения Эйлера-Лагранжа выводятся из двух разных принципов:

  1. Принцип Гамильтона гласит, что

дельта С "=" дельта ∫ т 1 т 2 л ( д я , д ˙ я , т ) д т "=" 0 ,

где нет условий на л ( д я , д ˙ я , т ) кажутся необходимыми, и отсюда можно непосредственно получить уравнения Эйлера-Лагранжа.

  1. Принцип Даламбера (в терминах обобщенных координат) утверждает, что

∑ Дж { [ д д т ( ∂ Т ∂ д ˙ Дж ) − ∂ Т ∂ д Дж ] − Вопрос Дж } дельта д Дж "=" 0 ,

где нужно учесть, что кинетическая энергия Т является квадратичной функцией скоростей д ˙ Дж .

Чтобы получить из этого принципа уравнения Эйлера-Лагранжа, нужно также учесть, что обобщенная сила Вопрос Дж выводится из функции потенциальной энергии В , которая должна быть функцией, зависящей только от координат д Дж . Форма лагранжиана должна быть л "=" Т − В в этом случае.

  1. Является ли принцип Гамильтона более мощным в том смысле, что он не накладывает ограничений на форму лагранжиана? или есть какое-то недостающее ограничение?

  2. Существует ли другой способ вывода уравнений Эйлера-Лагранжа из принципа Даламбера без ограничения форм Т , В и л ?

1-й вопрос: да, 2-й вопрос: принцип Саламбера просто обеспечивает обоснование принципа Гамильтона.
Значит, принцип Гамильтона не требует, чтобы силы связи не совершали виртуальной работы?
@ bgr95 1) Нет. Принцип Гамильтона в этой форме выполняется при условиях 2) (что указано в самом Гольдштейне).
а разве эта проблема не ТРИВИАЛЬНА? на самом деле если поставить функционал л "=" Т − В вы получаете уравнение движения, так почему же оно называется принципом Гамильтона, если это тривиальный вывод из уравнения Эйлера-Лагранжа для вариационных задач?=

Ответы (1)

И) На самом деле все наоборот. В контексте ньютоновской механики иерархия выглядит следующим образом от наиболее применимого к наименее применимому:

  1. Законы Ньютона применимы всегда.

  2. Принцип Даламбера или уравнения Лагранжа. Например, трение скольжения обычно нарушает принцип Даламбера.

  3. Стационарный принцип действия С "=" ∫ д т   л , с лагранжианом л "=" Т − U , и его уравнения Эйлера-Лагранжа. Например, обобщенная сила может не иметь обобщенного потенциала. U .

II) В пункте 3 мы молчаливо предположили, что лагранжиан имеет вид

(1) л   "="   Т − U ,
как это принято. Т и U в уравнении (1) можно рассматривать как представление кинематической и динамической сторон второго закона Ньютона, ср. например, этот пост Phys.SE. Линейная структура уравнения. (1) также отражает категориальные правила композиции для построения физических моделей из физических подсистем.

Существуют, строго говоря, исключения из формы (1), ср. например , этот пост Phys.SE, но в этих исключениях часто отсутствуют категориальные правила композиции, что делает их непригодными для полезного построения моделей.

III) Для получения дополнительной информации и обсуждений см., например, мои связанные ответы Phys.SE здесь , здесь и ссылки в них.

Я не вижу ясно, что при выводе уравнений Эйлера-Лагранжа, сделанном Гольдштейном, принцип Гамильтона требует, чтобы обобщенная сила выводилась из потенциальной функции. Он утверждает, что система должна быть моногенной ( Ф "=" − ∇ В ), но я не понимаю, как это на самом деле входит в формулировку...
Конечно... лагранжиан всегда должен быть записан в терминах энергий (хотя и не обязательно л "=" Т − В ). Если вы не можете записать силу в виде потенциальной функции, невозможно иметь ковариантное свойство лагранжевой формулировки (что-то только в терминах скаляров). В этом суть, верно?
Вывод уравнений Эйлера-Лагранжа из принципов Гамильтона и Даламбера
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v