Путаница с виртуальными смещениями

Рассмотрим шарик, скользящий по тонкому жесткому стержню в$x$-направление. Примером виртуального бесконечно малого смещения , несовместимого с ограничениями, является

Я понимаю этот комментарий Гольдштейна как мотивацию множителей Лагранжа.

На самом деле виртуальные смещения должны по определению соответствовать ограничениям. Теперь рассмотрим систему с$N$обобщенные координаты$q_k$и применим принцип Гамильтона. Чтобы получить уравнения Эйлера-Лагранжа, нужно учесть, что все вариации$\delta q_k$произвольны и независимы друг от друга. Предположим, у нас есть одно ограничение,$f(q_1,\ldots,q_N)=0$. Это означает, что одна из координат, скажем$q_N$, уже не является независимым и его вариация$\delta q_N$не может быть произвольным, оно должно согласовываться с ограничением. Чтобы получить уравнение Эйлера-Лагранжа для$q_N$координат мы должны использовать метод множителей Лагранжа. Конечно, мы могли бы избежать этого, если бы мы начали с$N-1$независимые обобщенные координаты.

Кроме того, выражение виртуальных перемещений в$\delta q_k$может не соответствовать ограничениям, может быть не лучшим. Я полагаю, что под виртуальным перемещением он действительно понимает виртуальное изменение (в смысле книги Корнелиуса Ланцоша, т. е. бесконечно малое изменение в$q_k(t)$которое не происходит от бесконечно малого изменения его аргумента, а происходит от произвольного изменения типа$\epsilon\phi(t)$).