Применение множителей Лагранжа в принципе действия

В «Классической механике» Гольдштейна он предлагает использовать множители Лагранжа, чтобы ввести в наши действия определенные типы неголономных и голономных ограничений. Метод, который он предлагает, состоит в том, чтобы определить модифицированный лагранжиан

$$L^{'}(\dot{q},q;t) = L(\dot{q},q;t) + \sum^{m}_{i = 1}\lambda_{i} f_{i}(\dot{q},q;t),$$ где$f_{i}(\dot{q},q;t)$являются$m$уравнения связи и$L$исходный лагранжиан. Затем он переходит к определению действия$S^{'} = \int_{t_{1}}^{t_{2}}L^{'}\,dt$и принимает вариацию$S^{'}$равным нулю, таким образом применяя принцип Гамильтона.

Моя путаница в этом подходе возникает из-за того, как вводятся множители Лагранжа. я не понимаю почему$\sum^{m}_{i = 1}\lambda_{i} f_{i}(\dot{q},q;t)$следует ввести внутрь интеграла.

В многомерном исчислении система множителей Лагранжа проистекает из идеи, что если мы хотим получить экстремум функции с определенными ограничениями, то градиент функции будет пропорционален линейной комбинации градиента уравнений ограничений. Здесь речь идет о действии , а не о лагранжиане. Итак, я чувствую, что разрешение должно быть таким

$$\delta S + \delta \sum^{m}_{i = 1}\lambda_{i} f_{i}(\dot{q},q;t) = 0;\, S = \int_{t_{1}}^{t_{2}}L\,dt$$ и не $$\delta S^{'} = 0; \, S = \int_{t_{1}}^{t_{2}}L^{'}\,dt.$$

Для меня неясно, имеет ли это смысл или эти два метода эквивалентны.