Путаница в отношении принципа наименьшего действия в «Классической теории поля» Ландау и Лифшица.

Возможно, уместно привести простой пример. Рассмотрим простой гармонический осциллятор (SHO) .

с характерной частотой

и граничные условия Дирихле

Можно показать , что классический путь является минимумом для действия (1) только в том случае, если период времени

меньше характерного масштаба времени$\frac{T}{2}$проблемы. (Если$\Delta t=\frac{T}{2}$существует нулевая мода.) Для$\Delta t>\frac{T}{2}$классический путь уже не является минимумом для действия (1), а лишь седловой точкой. Если рассматривать все больше и больше$\Delta t$, каждый раз развивается/появляется новый негативный модус/направление$\Delta t$пересекает несколько$\frac{T}{2}$.

Именно такие примеры исх. 1. имеет в виду, когда говорит, что принцип наименьшего действия на самом деле является принципом стационарного действия. Вышеупомянутое явление является довольно общим и связано с сопряженными точками /поворотными точками и теорией Морса . В квазиклассическом расширении квантовой механики такое поведение влияет на метаплектическую поправку / индекс Маслова . См., например, ссылку. 2 для получения дополнительной информации.

Аналогичное явление имеет место в геометрической оптике , где легко построить примеры световых путей, которые не минимизируют время, ср. Принцип наименьшего времени Ферма .

Использованная литература:

1. Ландау и Лифшиц, Том 2, Классическая теория поля, с. 24.

2. В. Дитрих и М. Рейтер, Классическая и квантовая динамика , 1992, глава 3.

Ответы на ваши вопросы даны в Вариационное исчисление , Гельфанд, 2000, раздел 36.2. Сначала нам понадобится теорема:

Функционал$S[x] = \int_a^b L(t,x,\dot{x}) dt$,$x(a) = A$,$x(b) = B$должны удовлетворять следующим условиям, чтобы иметь слабый минимум для$x = x(t)$:

1. Кривая$x(t)$удовлетворяет уравнению Эйлера-Лагранжа, а именно является экстремалью,
2. $\partial_{\dot{x}}\partial_{\dot{x}} L |_{x(t)} >0$,
3. Интервал$[a,b]$не содержит точек, сопряженных с$a$.

Определение сопряженных точек находится на стр.114.

1. Примером, иллюстрирующим это, является гармонический осциллятор, $$m\ddot{x} + kx = 0, \quad x(0)=0, \dot{x}(0) = 1$$ с раствором$x(t) = \frac{1}{\omega}\sin(\omega t)$,$\omega \equiv \sqrt{\frac{k}{m}}$и действие $$S[x] = \frac{1}{2}\int_a^b m\dot{x}^2 - kx^2 dt.$$ Точки$(t=\pi/\omega,x=0)$а также$(t=0,x=0)$сопряжены, так как каждая экстремаль, начиная с$x(0)=0$пересекает упомянутое решение в точке$(\pi/\omega,0)$. Условия предыдущей теоремы для минимума выполняются при$0\leq a \leq t < \pi/\omega$а не для увеличенных интервалов.
2. На стр. 161 Гельфанд показывает, что для колеблющейся струны с закрепленными концами не существует интервала времени без пары сопряженных точек, поэтому мы не можем гарантировать, что решение волнового уравнения вообще минимизирует действие. Затем он заявляет, что именно по этой причине мы заменяем принцип наименьшего действия принципом стационарного действия для механических систем.

Я думаю, что это может быть какое-то дурацкое соглашение о знаках Ландау, потому что в принципе мы можем установить:

Поскольку мы вмешиваемся со знаком внутри квадратного корня в зависимости от того, исследуем ли пространственно-подобные/временноподобные кривые$x^\mu (p)$, мы также можем поставить минус впереди, чтобы обозначить, что мы работаем с другим типом «длины», чем в обычном пространстве. В этом случае мы действительно получили бы минимум с множителем$-\alpha$.

Вся эта штука с "минимумом действия" является скорее историческим реликтом из натурфилософии и верна только для специальных лагранжианов. Например, при гравитационном линзировании (то есть нуль-геодезических в теории относительности) несколько изображений получаются несколькими экстремальными путями, из которых по крайней мере один является максимальным (в случае нескольких изображений для одного изображения он является минимальным).

Однако для практического исследования минимума можно разложить лагранжиан , как при обычном выводе уравнений Эйлера-Лагранжа, но до второго порядка по вариации траектории$\delta x^\mu$. В первом порядке вы получаете уравнения Эйлера-Лагранжа, которые вы должны решить в общем случае. Затем решение подставляется в разложение второго порядка, которое приводит к исчезновению первого порядка, и затем вы должны исследовать знак полученного выражения.

Я знаю, что этот вопрос был задан в 2014 году, поэтому вполне вероятно, что за прошедшие годы вы нашли на него ответ.

Но на всякий случай я все равно отправляю этот ответ.

Предыстория ответа, который я здесь представляю, — это описание стационарного действия Гамильтона, которое я представил на physics.SE в октябре 2021 года.

В этом ответе я буду обсуждать, в каких случаях истинная траектория соответствует минимуму действия Гамильтона, а в каких случаях истинная траектория соответствует максимуму действия Гамильтона. Я также обсужу, какой случай является критическим и находится на пороге перехода от минимума к максимуму.

Я буду обсуждать упрощенный случай движения в одном пространственном измерении; обобщение до 3 пространственных измерений является прямым.

Я последовательно рассмотрю следующие три случая:

• на движение действует однородная сила, поэтому потенциал линейно возрастает с перемещением
• движение подвергается силе, которая увеличивается линейно со смещением, следовательно, потенциал увеличивается пропорционально квадрату смещения
• движение подвергается силе, которая квадратично возрастает с перемещением, следовательно, потенциал увеличивается с кубом смещения

Изменение пробной траектории является изменением координаты положения.

При изменении пробной траектории оценка сравнивает отклик кинетической энергии с откликом потенциальной энергии.

Скорость изменения пробной траектории распространяется на скорость вдоль пробной траектории. Как известно: выражение кинетической энергии пропорционально квадрату скорости. Поэтому реакция кинетической энергии на вариацию во всех случаях является квадратичной функцией.

Потенциал увеличивается линейно с перемещением

Когда потенциальная энергия увеличивается линейно со смещением, мы имеем, что реакция потенциальной энергии на изменение пробной траектории является линейной .

По этой причине: когда потенциальная энергия возрастает линейно со смещением, истинная траектория соответствует минимуму действия Гамильтона.

Потенциал увеличивается квадратично с перемещением

Как известно: в идеализированном случае силы, возрастающей точно пропорционально перемещению (совершенный закон Гука), решением уравнения движения являются гармонические колебания.

Как известно: идеализированные гармонические колебания обладают следующим свойством: период колебаний не зависит от амплитуды. Другими словами: при заданном квадратичном потенциале каждая амплитуда колебаний имеет один и тот же период колебаний .

Стационарное действие Гамильтона воспроизводит указанное выше свойство амплитуды.

Оценить квадратичный потенциал за интервал времени, равный половине периода полного колебания. Итак: если период колебаний$2\pi$секунд, затем оцените из$t=0$к$t=\pi$В этом случае при интервале времени, равном половине периода, установка координаты начального положения на ноль означает, что координата конечного положения будет равна нулю.

Тогда оценка получается следующей: для каждой амплитуды колебаний действие Гамильтона равно нулю .

Действие Гамильтона равно нулю, потому что в случае гармонических колебаний и кинетическая энергия, и потенциальная энергия квадратично реагируют на изменение пробной траектории; ответы равны.

Суммирование:
в случае закона Гука, оцененного для временного интервала, который составляет половину периода колебаний (или любого целого числа, кратного этому), мы имеем, что действие Гамильтона оценивается как ноль для каждой амплитуды колебаний.

Фундаментальным свойством идеализированных гармонических колебаний является то, что период колебаний не зависит от амплитуды. Действие Гамильтона соответствует этому: для каждой амплитуды колебаний действие Гамильтона равно нулю

Следовательно:
Чтобы рассчитать реальную амплитуду колебаний для какого-то конкретного случая, необходимо задать дополнительное начальное условие . Только с граничными условиями проблема недоопределена.

Потенциал возрастает пропорционально кубу водоизмещения

Позвольте мне сделать сравнение. В физике демпфирования есть естественное подразделение на недостаточное демпфирование, критическое демпфирование и избыточное демпфирование. Случаи линейного потенциала, квадратичного потенциала и потенциала, пропорционального кубу смещения, подпадают под аналогичное подразделение.

Критический случай: и
кинетическая , и потенциальная энергии квадратично реагируют на изменение пробной траектории.

Подкритический:
всякий раз, когда реакция потенциальной энергии на изменение пробной траектории имеет более низкий порядок, чем квадратичный, истинная траектория соответствует минимуму действия Гамильтона.

Сверхкритический:
всякий раз, когда реакция потенциальной энергии на изменение пробной траектории имеет порядок более высокого порядка, чем квадратичный, истинная траектория соответствует максимуму действия Гамильтона.

Для акцента позвольте мне повторить:
существуют классы случаев, когда истинная траектория соответствует максимуму действия Гамильтона.

Обратите внимание, например, что уравнение Эйлера-Лагранжа не зависит от того, соответствует ли идентифицируемая им траектория минимуму или максимуму действия Гамильтона. Является ли действие Гамильтона минимальным или максимальным, не имеет значения. Единственное релевантное свойство состоит в том, что вы определяете точку, в которой действие Гамильтона является стационарным .

Однако в сверхкритическом случае есть поворот.
Если потенциальная энергия как функция положения пропорциональна кубу (или выше), то оценка действия Гамильтона должна производиться на достаточно большом интервале времени .

Чтобы понять почему, нарисуйте на той же диаграмме квадратичную функцию$f(x)=x^2$и кубическая функция$g(x)=x^3$. При достаточном расстоянии по горизонтальной оси кубическая функция всегда будет опережать квадратичную функцию, но кубическая функция вначале медленнее.

Таким образом, существует проблема масштабирования . Ниже некоторого масштаба квадратичная функция круче кубической; чтобы кубическая функция победила, оценка должна распространяться на достаточно длинный масштаб.

Из-за этой проблемы масштабирования: при сужении до достаточно узкого определенного интервала времени действие Гамильтона будет минимальным даже при потенциале выше квадратичного.

По моей оценке, Ландау заметил такое поведение в математике и впоследствии решил утверждать его как свойство, пусть и без объяснения причин. Я предполагаю, что если бы Ландау знал объяснение, он дал бы объяснение.

«Стационарное действие» против «наименьшего действия»

Как известно, в подавляющем большинстве практических случаев отклик потенциальной энергии на изменение пробной траектории имеет меньший порядок, чем квадратичный. Две важные вещи, гравитация и сила Кулона, являются законами силы обратных квадратов.

Критический случай, гармоническое колебание, конечно, тоже вездесущ. (С другой стороны, критическим является идеализированный случай, и я не уверен, есть ли в классической механике случаи, когда колебание физически является идеализированным гармоническим колебанием.)

Случаи, когда потенциал возрастает с кубом смещения (или более высоким порядком), редки, но они есть.

Переход от минимума к максимуму при движении от недокритического к сверхкритическому демонстрирует, что в основе своей критерием является определение точки стационарного действия .