Действительно ли обобщенные координаты в лагранжевой механике независимы?

Отвечаю на вопросы по порядку:

1. Уравнение (2.17) говорит нам, что интегрирование некоторой величины равно deltaJ, которое в конечном счете мы устанавливаем равным нулю. Теперь это интегрирование равно нулю независимо от того, какие пределы x мы накладываем. Итак, ясно, что причина должна заключаться в том, что само подынтегральное выражение равно нулю. Теперь подынтегральная функция здесь представляет собой сумму коэффициентов deltaY. Если deltaY не являются независимыми, то может случиться так, что какая-то умная их комбинация отменяет другие и делает все это равным нулю. Но поскольку они независимы (при нашем предположении об обобщенной координате), единственный способ, которым их сумма может быть равна нулю, - это если они равны нулю по отдельности, что приводит к уравнению Лагранжа.

2. Что означает независимость координат ? Это не означает, что после того, как вы решили динамику, т. е. нашли y(x) для всех x, между ними не будет никакой связи. Конечно, какая-то связь (какой бы сложной она ни была) будет существовать. Но это означает, что при любой n-1 координате, если я попрошу вас найти «n»-ю координату, вы не сможете. Просто потому, что тогда «n»-й y может иметь любое возможное значение. Почему так? Потому что помните, что у нас не было «n» координат, когда мы начинали, у нас было гораздо больше. Мы использовали все их внутренние отношения, чтобы уменьшить число переменных. Теперь все, что у нас есть, абсолютно независимо, т.е. может принимать любое значение, даже если мы указали все остальные координаты.

3. Отношения ограничений в целом могут иметь более высокие производные от r, что подробно объяснил Гольдштейн. Даже некоторые ограничения могут принимать форму неравенства. Для первого случая мы используем модифицированную форму уравнения Лагранжа.

4. 4-й вопрос очевиден. На самом деле это тип рассуждений, которые вы использовали во втором вопросе, если вы принимаете x как другую переменную координату. В этом случае ваша обобщенная координата была x (скажем), а ваша система координат y1, y2, x имела 2 отношения ограничений y1 = y1 (x) и y2 = y2 (x). Эти двое сократили число оценок до одного. А именно, теперь вам нужно решить только для переменной x. Два других будут определены автоматически.

Как именно сделать независимость$δy_i$означает, что коэффициенты равны нулю?

позволять$S= \sum_i \bigg(\frac{\partial f}{\partial y_i} - \frac{d}{dx} \frac{\partial f}{\partial \dot{y}_i}\bigg)\ \delta y_i = 0$(Поскольку интеграл от$S$равен нулю$^{[1]}$)

скалярное произведение$S$с$\delta y_m$

$$S \cdot \delta y_m=\sum_i \bigg(\frac{\partial f}{\partial y_i} - \frac{d}{dx} \frac{\partial f}{\partial \dot{y}_i}\bigg)\ \delta y_i \cdot \delta y_m = \bigg(\frac{\partial f}{\partial y_i} - \frac{d}{dx} \frac{\partial f}{\partial \dot{y}_i}\bigg) \tag{1}=0$$

Поскольку независимые переменные подразумевают, что они ортогональны, RHS отлична от нуля только для$i=m$, (остальные члены исчезают, поскольку они ортогональны)

Данные отношения$y_i=y_i(x)$для$i=1,2,...,n$мы не всегда можем найти отношение y_i =$y_i(y_1, y_2, ..., y_{j \neq i}, ..., y_n)?$Например, если у нас есть функции$y1=x2$и$y2=x4$мы можем найти отношение$y_2=y_{21}$, что показывает, что эти функции зависимы. Учитывается ли это при выводе уравнений Лагранжа? (Имейте в виду, что x означает t, я просто использую x, потому что это то, что использует Гольдштейн).

помните, что это виртуальные вариации, а не реальные , здесь вы фиксируете одну из переменных и пытаетесь варьировать другую, так как вы фиксируете одну из них, вы вольны варьировать другую по своему усмотрению (опять же, в гармонии с ограничения)

В главе 1.3 Гольдштейна мы знакомимся с уравнениями связи: f(r1,r2,r3,...,t)=0. Есть ли причина, по которой производные от ri не включены? (Повлияет ли это как-нибудь на уменьшение степеней свободы?)

если бы уравнение связи имело вид

$f(q_1, q_2, q_3, \cdots, \dot q_1, \dot q_2,\dot q_3 ..., t) = 0$

Вариация$\delta f$будет просто

$$\delta f=\sum_i^N \frac{\partial f}{\partial q_i} \delta q_i + \frac{\partial f}{\partial \dot q_i} \delta \dot q_i +\frac{\partial f}{\partial t}$$

А вариация действия дает

$\delta L + \lambda \delta f=0$

Все ограничения уменьшают степени свободы

Существуют ли формальные (математические) причины того, почему уравнения связи уменьшают количество координат (и степеней свободы)?

Предполагать

$$r_i=r_i(q_1,q_2,\cdots, q_n)$$

$i=1,2, \cdots 3N$

так как система$N$свободные частицы могут иметь$3N$степени свободы

И допустим есть$m$ограничения

$$f_j=f_j(q_1,q_2,\cdots, q_n)$$

$j=1,2, \cdots m$

Теперь не все$n$переменные являются независимыми из-за ограничений, и поэтому количество независимых уравнений уменьшается до$3N-m$