Какое минимальное количество аксиом требуется для системы аксиом?

Какое минимальное количество аксиом вам нужно, помимо определений и использования обозначений, чтобы у вас была система, которая не противоречит сама себе?

Я бы просто подумал, что ответ просто 1, но тогда что говорит об этом теорема Гёделя о неполноте? Существует ли утверждение, которое нельзя доказать?

Ответы (3)

Если у нас есть система аксиом с конечным числом аксиом, мы всегда можем свести их только к одной, заменив набор исходных аксиом их конъюнкцией .

Таким образом, любая конечно аксиоматизированная нетривиальная система аксиом может быть сформулирована в эквивалентной форме с помощью одной аксиомы.

Теоремы Гёделя о неполноте применимы к системам, которые (в дополнение к другим условиям) имеют набор аксиом, который является конечным или, по крайней мере, разрешимым ; Арифметика Робинсона , например, конечно аксиоматизирована , и этого достаточно для теоремы G.

Ну, я бы сказал, что минимальное количество аксиом для системы, свободной от противоречий, должно быть равно нулю . Обычно это исключается как тривиальный случай, но ради ОП я думаю, что здесь стоит подчеркнуть, что пустые системы на самом деле непротиворечивы.

GIT применяется только к системам аксиом, которые могут выражать натуральные числа. Учитывая любую такую ​​систему с одной аксиомой, она была бы неполной.

Примером неполной системы с одной аксиомой может быть соединение аксиом Гёделя-Берне. http://en.wikipedia.org/wiki/Von_Neumann%E2%80%93Bernays%E2%80%93G%C3%B6del_set_theory

Другими словами, NGB может быть конечно аксиоматизирована , так что вы можете взять логическую конъюнкцию каждой из аксиом, чтобы сделать единственное утверждение, которое инкапсулирует все аксиомы. Тогда это было бы неполным.

Вы не можете взять конъюнкцию аксиом Гёделя-Берне, потому что их бесконечно много. Но если вы ищете незавершенную систему с одной аксиомой, вам не нужно ничего настолько сложного. Просто возьмите одну переменную $x$, один предикатный символ $P$ и одну аксиому $P(x) -> P(x)$.
@WillO Я выбрал NGB, потому что это конечно аксиоматизируемо. Но, возможно, я неправильно понимаю какое-то различие между конечной аксиоматизируемостью и наличием конечного числа аксиом. Так ли это? «NBG, в отличие от ZFC и MK, можно конечно аксиоматизировать». en.wikipedia.org/wiki/… Но я никогда не изучал NBG, так что, возможно, мне не хватает тонкости.
Меня удивляет, что (по крайней мере, согласно Википедии) NGB можно конечно аксиоматизировать, но каждый день надеешься узнавать что-то новое. Единственное, в чем я был бы осторожен, так это в том, что даже если NGB конечно аксиоматизируем, остается тот случай (если я снова не ошибаюсь), что число обычных аксиом NGB бесконечно, так что, когда вы говорите «возьмите конъюнкцию все аксиомы», нужно пояснить, что речь идет о каком-то альтернативном (конечном) наборе аксиом, а не об обычном (бесконечном) наборе.
@WillO - вы можете увидеть в Эллиотте Мендельсоне, Введение в математическую логику (4-е изд. - 1997 г.), стр. 225 и далее, версию NGB без схемы аксиом . См. стр. 240: «Это завершает список аксиом NBG, и мы видим, что NBG имеет только конечное число аксиом».

Очень простая аксиоматическая система для рассмотрения:

Алфавит: |

Аксиома: ||

Правило вывода: мы можем добавить | до конца каждого утверждения.

Из единственной аксиомы мы заключаем |||.

Из ||| получаем ||||.

Из |||| получаем |||||.

И так далее.

Очевидно, никаких противоречий быть не может, но мы не можем вывести |.

Немного более сложная система с чем-то вроде истинных и ложных утверждений:

Алфавит: ~ |

Аксиома 1: |

Аксиома 2: ~||

Правило вывода: вы можете добавить || до конца каждого утверждения.

Обратите внимание, что мы не можем вывести как оператор x (не начинающийся с '~'), так и оператор ~x. Так что никаких "противоречий". Вы не можете вывести ~|. Вы также не можете получить ||.

Итак, я предполагаю, что вам понадобится по крайней мере одна аксиома и одно правило вывода в любой аксиоматической системе. Если вы хотите смоделировать «истинные» и «ложные» утверждения, вам, вероятно, понадобятся как минимум две аксиомы.

Какое минимальное количество аксиом требуется для системы аксиом?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v