Если я правильно понимаю, во многих контекстах в физике (квантовая механика?) физическая система определяется путем задания ее гамильтониана. Я также слышал, что симметрия довольно важна.
Что касается самых естественных симметрий, то их довольно легко распознать. По-видимому, они должны быть линейными отображениями лежащего в основе гильбертова пространства, что кажется достаточно естественным, и они, несомненно, должны коммутировать с гамильтонианом (если вы преобразуете систему по симметрии, а затем используете гамильтониан, чтобы выяснить, как она развивается, результат должен быть таким же, как когда вы сначала смотрите на эволюцию во времени, а затем применяете симметрию).
Некоторое время я думал, что это как раз то, что должна делать симметрия, но потом я понял, что подойдет любое отображение, сохраняющее собственные пространства гамильтониана инвариантными, и я подозреваю, что это не совсем правильно. Кроме того, кажется, что есть и другие операторы, часто используемые при определении гамильтониана --- я не уверен, что симметрия также должна коммутировать с ними...
Я был бы чрезвычайно признателен, если бы кто-нибудь объяснил мне, что такое симметрии физической системы (рассматриваемой с точки зрения гамильтониана) и почему они определяются именно так, а не иначе. Объяснение с точки зрения непрофессионала/математика было бы еще более ценным.
Отказ от ответственности: я математик, а не физик.
Существует фундаментальный результат, называемый теоремой Вигнера о симметриях в квантовой механике, который, я думаю, прольет много света на этот вопрос. Теорема характеризует симметрии в квантовой механике, учитывая, что они обычно определяются как отображения в гильбертовом пространстве, сохраняющие вероятности перехода. Насколько мне известно, других общих ограничений на симметрии в квантовой механике нет. Есть хорошее (не совсем строгое) обсуждение этой теоремы в КТП Вайнберга, том 1, приложение А.
С другой стороны, есть родственное понятие — сохраняющиеся величины. В контексте квантовой механики наблюдаемые величины (самосопряженные операторы), которые коммутируют с гамильтонианом, будут сохраняться в силу уравнения Гейзенберга для эволюции во времени.
Есть две большие области физики: общая теория относительности и теория квантовых полей.
Симметрии общей теории относительности:
Инвариант Лоренца: возникает из-за того, что скорость света постоянна независимо от системы отсчета. Эксперимент Майкельсона – Морли
Калибровочный инвариант:
Симметрии квантовых полей (Стандартная модель, есть другие модели с другими симметриями, но везде, где принимается стандарт):
Инвариант Лоренца: по той же причине.
возникает в результате электромагнитного взаимодействия.
возникает из экспериментальных симметрий слабого взаимодействия.
возникает из экспериментальных симметрий сильного взаимодействия.
Алекс Нельсон