Эквивалентность симметрии и коммутирующего унитарного оператора

1. Прежде чем вы сможете доказать$[H,U]=0$вы, конечно, должны определить, что$H'$есть, иначе утверждение$H' = H$не имеет никакого значения.

2. Вам не нужно уравнение Шрёдингера, чтобы понять, почему$H' = U H U^\dagger$: Скажем, у нас есть трансформация$U$действующие на векторы$\psi$как$\psi' = U\psi$и у нас есть оператор$H$действующий на$\psi$. Теперь мы хотим записать оператор$H'$это оказывает такое же влияние на преобразование$\psi'$что$H$имеет на$\psi$. Если подумать об этом, должно быть ясно, что

   $$(H \psi)' = H' \psi' \qquad (\ast)$$ искомое условие, т.е.$U(H\psi) = H'(U\psi)$. Если это для всех$\psi$, мы обязательно получим $$H' = U H U^\dagger \;.$$

Примечание. Говоря более технически, у нас есть преобразование$U$действующий в гильбертовом пространстве$\mathcal H$в каком-то представлении. Это всегда индуцирует уникальное представление$U$на операторном пространстве эндоморфизмов$\mathrm{End}(\mathcal H) = \mathcal H^\ast \otimes \mathcal H$по некоторым общим правилам, так что выполняется (*). Если$U$действует в фундаментальном представлении$\psi' = U\psi$на$\mathcal H$тогда индуцированное представление$H' = UHU^\dagger$называется присоединенным представлением.