Трансляционно-инвариантный гамильтониан и свойство собственных состояний энергии

Нет , такого требования нет. Довольно легко найти контрпримеры, где у вас есть трансляционно-инвариантные гамильтонианы, которые имеют локализованные собственные энергетические состояния без такой трансляционной инвариантности. В частности, заявление, которое вы делаете,

трансляционная инвариантность приводит к собственному состоянию энергии, делокализованному в пространстве,

ложно в целом, при разумном понимании вышеизложенного в более точное утверждение

если$H$является трансляционно-инвариантным и$|\psi\rangle$является собственной функцией$H$, затем$|\psi\rangle$также должен быть инвариантным к переводу

что не держит.

Чтобы сделать простой контрпример к приведенному выше утверждению, рассмотрим гамильтониан для свободной частицы в двух измерениях:$H=\frac12(p_x^2+p_y^2)$, который, очевидно, имеет трансляционно-инвариантные и трансляционно-инвариантные собственные функции вида

$$\langle x,y|p_x,p_z\rangle = \frac{1}{2\pi} e^{i(xp_x+yp_y)}.$$ Однако нет требования, чтобы собственные функции были такими, и действительно, вы можете сформировать вращательно-инвариантные волновые функции, которые имеют четкую локализацию в начале координат, взяв фазовые суперпозиции плоских волн в виде $$|p,l\rangle = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} e^{il\theta}|p\cos(\theta),p\sin(\theta)\rangle \mathrm d\theta.$$ Их несколько легче понять в полярных координатах, где у вас есть $$\begin{align} \langle r,\theta|p,l\rangle & = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \langle r,\theta|p\cos(\theta'),p\sin(\theta')\rangle e^{il\theta'}\mathrm d\theta' \\ & = \frac{1}{(2\pi)^2} \int_0^{2\pi} e^{ipr(\cos(\theta)\cos(\theta')+\sin(\theta)\sin(\theta'))} e^{il\theta'}\mathrm d\theta' \\ & = \frac{1}{(2\pi)^2} e^{il\theta}\int_0^{2\pi} e^{ipr\cos(\theta'-\theta)} e^{il(\theta'-\theta)}\mathrm d(\theta'-\theta') \\ & = \frac{i^{l}}{2\pi} e^{il\theta} J_{l}(pr) , \end{align}$$ которые, очевидно, являются сепарабельными цилиндрическими гармоническими решениями уравнения Шредингера в двух измерениях. Это означает, что они являются законными собственными функциями $H$, но они не имеют абсолютно никакого отношения к трансляционной симметрии. Вместо этого они являются собственными функциями вращательной симметрии $H$- и, фактически, состояния плоской волны, с которых вы начали, являются прекрасными примерами того, как вращательно-инвариантный гамильтониан может иметь собственные функции, которые не соблюдают эту симметрию.

---

Тем не менее, если вы действительно ищете аналог первоначального результата, который вы заявили,

если гамильтониан инвариантен по четности, то невырожденные собственные состояния энергии либо четны, либо нечетны

тогда да, это возможно, но абсолютно необходимо иметь невырожденные собственные значения. (Конечно, это верно и в случае четности, и если у вас есть четные и нечетные собственные состояния с одним и тем же собственным значением, то построить собственные состояния со смешанной четностью, которые не имеют определенной симметрии, тривиально.)

Если вам удастся найти трансляционно-инвариантный гамильтониан$H$такой, что$[H,T_a]=0$и некоторое собственное значение$p$является невырожденным (например,$p=0$для свободной частицы как единственный физически значимый случай), то да, собственное состояние$|\psi_p\rangle$должен быть трансляционно инвариантным, так как$T_a|\psi_p\rangle$должно быть собственным состоянием того же собственного значения, и в силу невырожденности оно должно быть пропорционально$|\psi_p\rangle$, т.е.$T_a|\psi_p\rangle = e^{i f(a)}|\psi_p\rangle$, так$|\psi_p\rangle$является трансляционно инвариантным.

Однако очень маловероятно, что вы найдете какие-либо нетривиальные, физически значимые гамильтонианы, которые инвариантны относительно трансляции, но не инвариантны по четности, поэтому вы всегда будете иметь как минимум двукратное энергетическое вырождение во всех ненулевых собственных значениях, что делает приведенный выше аргумент в значительной степени бесполезным.

Мне кажется, вас заинтересует следующая теорема:

Если два оператора$A$и$B$коммутируют, мы можем найти совместный собственный базис векторов$|a, b\rangle$так что$A |a,b \rangle = \lambda_a\, |a,b\rangle$и$B |a,b \rangle = \mu_b\, |a,b\rangle$.

Давайте применим это к системам, о которых вы говорите:

• Если Гамильтон инвариантен по четности, это означает$[H,P] = 0$. Тогда по приведенной выше теореме мы можем выбрать собственный базис$H$таким образом, что каждый собственный вектор$|n\rangle$имеет определенную четность,$P|n\rangle = \pm |n\rangle$. Отсюда делаем вывод

  $$\psi_n(x) = \langle x | n \rangle = \pm \langle x | P | n \rangle = \pm \langle -x | n \rangle = \pm \psi_n(-x) \;.$$

• Позволять$T_x$быть переводом$x$. Если Гамильтон трансляционно-инвариантен (непрерывная симметрия), то$[H, T_x] = 0$для всех$x$. Помнить

  $$T_x = \exp\left( -\frac {\mathrm i} \hbar x\, p \right)$$ (где$p$— оператор импульса). Если$H$и$T_x$коммутировать для всех$x$, это должно означать, что$[H,p] = 0$. По приведенной выше теореме мы можем найти базис собственных векторов$|n\rangle$гамильтониана, которые также являются собственными векторами$p$так что $$\psi_n(x) \sim \mathrm e^{\frac{\mathrm i}\hbar k_n x}$$ для некоторых$k_n$.

• Если только$[H, T_x] = 0$для дискретного$x = na$. Снова применяя теорему, получаем, что можно выбрать базис, в котором

  $$\psi_n(x + a) = C \psi_n(x) \;,$$ где$C$является константой с$|C| = 1$. Писать$C = \mathrm e^{2\pi\mathrm i\, \theta}$, определять$k = \frac{2\pi\theta}a$и $$u_n(x) = \mathrm e^{-\mathrm i kx} \psi_n(x) \;.$$ Вы сразу видите, что$u_n(x+a) = u_n(x)$, и теперь мы понимаем, как теорема Блоха следует из общей теоремы, которую я цитировал выше.
  (Теорема Блоха утверждает, что$\psi_n(x) = \mathrm e^{\mathrm i kx} u_n(x)$с периодическим$u_n$.)

Важно: «мы можем найти собственный базис такой, что...» вообще не означает, что все базисы имеют этот вид. Если спектр$H$является вырожденным, мы, вообще говоря, сможем выписать базисные векторы$H$которые не соблюдают симметрию другого оператора, будь то$P$или$T_x$. Смотрите ответ Эмилио Писанти.

Я работаю в одном пространственном измерении для простоты. Если гамильтониан трансляционно-инвариантен, т. е. если

$$\left[H,U\right]=0$$

для унитарного оператора перевода

$$U = e^{-ip},$$

то мы можем найти одновременные собственные состояния$\left|\varepsilon,\theta\right>$как гамильтониана, так и оператора сдвига, где$H\left|\varepsilon,\theta\right>=\varepsilon\left|\varepsilon,\theta\right>$и$U\left|\varepsilon,\theta\right>=e^{i\theta}\left|\varepsilon,\theta\right>.$Рассмотрим пространственную волновую функцию

$$\psi(x)= \left<x\right|\left.\!\varepsilon,\theta\right>.$$ Мы видим, что $$\begin{align} \psi(x+a) &= \left<x+a\right|\left.\!\varepsilon,\theta\right>\\ &=\left<x\right|U^{-a}\left|\varepsilon,\theta\right>\\ &= e^{-ia\theta}\psi(x) \end{align}$$ для всех реальных $a$. Следует, что $$|\psi(x)|^2 = |\psi(x')|^2$$ для всех $x$, $x'$, поэтому плотность вероятности, описываемая такой волновой функцией, является пространственно постоянной. Любая ненулевая функция, удовлетворяющая этому условию, не будет иметь $L^2$норма.

Для дискретных трансляционно-инвариантных систем применима теорема Блоха .

При непрерывной трансляционной инвариантности гамильтониана гамильтониан есть константа ($\forall a:H(r) = H(r+a) \rightarrow H(r)=H=const.$). Следовательно, плоские волны представляют собой набор собственных состояний (что действительно также согласуется с континуальным пределом теоремы Блоха).