Почему преобразования симметрии должны коммутировать с гамильтонианом?

Иногда это утверждается без особых пояснений.

Оператор эволюции во времени задается возведением в степень гамильтониана:

$$U(t) = \exp(-i t\hat H / \hbar ).$$ Для конкретности, когда мы думаем об операции симметрии (то, что вы назвали$U$) давайте подумаем о вращениях вокруг$z$-ось. Ротация на$\theta$степени присваиваются $$R(\theta) = \exp(-i\theta \hat J_z/\hbar)$$ где$\hat J_z$– оператор углового момента в$z$-направление.

Если наша симметрия коммутирует со сдвигом во времени, мы имеем

$$[U(t), R(\theta)] = 0 \implies U(t) R(\theta) = R(\theta) U(t).$$

Это означает, что для любого$|\psi \rangle$,

$$U(t) R(\theta) |\psi \rangle = R(\theta) U(t) |\psi \rangle.$$

Другими словами, если вы поворачиваете состояние на$\theta$градусов, а затем ждать$t$секунд, вы окажетесь в том же состоянии, как если бы вы сначала ждали$t$секунд до поворота$\theta$градусов.

Физики часто имеют в виду «коммутативность» этих операций, когда говорят, что они обладают симметрией.

Дифференцируя уравнение$[U(t), R(\theta)] = 0$к$t$,$\theta$, или оба, мы можем видеть, что это утверждение на самом деле эквивалентно четырем тесно связанным утверждениям

1. $[e^{-i t \hat H/\hbar}, e^{- i \theta \hat J/\hbar}] = 0$: Вращение, а затем изменение состояния во времени — это то же самое, что и изменение времени, а затем вращение. (У нас есть симметрия.)
2. $[e^{-i t \hat H/\hbar},\hat J] = 0$: Угловой момент состояния не меняется после временной эволюции. (Угловой момент сохраняется.)
3. $[\hat H, e^{- i \theta \hat J/\hbar}] = 0$: Энергия состояния не меняется, если состояние вращается.
4. $[\hat H, \hat J] = 0$: Если вы измерите угловой момент состояния, вероятность того, что состояние впоследствии будет иметь какую-либо конкретную энергию, не изменится. Обратное также верно. ($\hat H$и$\hat J$можно одновременно диагонализовать.)

Требование, чтобы унитарный оператор$U$не меняет коэффициенты перехода — пустое утверждение, потому что всегда верно, что

$$\langle \psi | \chi\rangle = \langle U \psi | U\chi\rangle = \langle\psi | U^\dagger U |\chi\rangle\,.$$ С другой стороны, требование, чтобы значения ожиданий оставались неизменными, является слишком сильным ограничением. Возьмем, к примеру, вращательно-инвариантную систему. Если вы вращаете относительно любой оси, которая не$\vec{z}$, ожидаемое значение $$\langle \psi | \hat{J}_z | \psi\rangle\,,$$ изменится. В частности, он переворачивает знак, если вы поворачиваете на$\pi$вокруг, скажем,$\vec{x}$.

Краткий ответ на ваш вопрос: по определению . Но попробую объяснить мотивацию.

Симметрии в физике тесно связаны с константами движения. Каждый раз, когда у вас есть симметрия в классической динамике (вращение, перемещение,$U(1)$, ...) вы получаете постоянную движения (угловой момент, импульс, заряд,...). Мы хотим перенести ту же концепцию в квантовую механику. И получается, что операторы играют обе роли одновременно. Они действуют как генераторы симметрии, если вы используете их в состоянии, и они действуют как константы движения, если вы принимаете их математическое ожидание.

Теперь давайте посмотрим, почему оператор с постоянным во времени средним значением должен коммутировать с гамильтонианом. Вызов$J$генератор симметрии и$U(\theta) = \exp(i\theta J)$связанный с ним унитарный оператор. Наше ожидаемое значение

$$E_\psi(t) \equiv \langle \psi | e^{i H t / \hbar}\,J\, e^{-i H t / \hbar}| \psi\rangle\,.$$ Мы требуем, чтобы производная этого была равна нулю $$-i\hbar\frac{\mathrm{d}E_\psi}{\mathrm{d}t} = \langle \psi | \,[H, J]\,|\psi\rangle = 0\;\;\forall\;\psi \in \mathscr{H}\,(\mbox{Hilbert space})\,.$$ Очевидно, если взять$\psi = \chi + \phi$ты можешь доказать это$\langle\chi|[H,J]|\phi\rangle= 0$поэтому коммутатор равен нулю как оператор. Наконец, если$H$коммутирует с$J$, то оно коммутирует с любым степенным рядом$J^n$и поэтому$U(\theta)$также.

---

Как указано в комментариях, это верно для непрерывных симметрий, где у вас есть симметрия соответствия$\leftrightarrow$постоянная движения. Но дискретные симметрии также должны коммутировать с гамильтонианом по определению.

Конечно, есть и другие способы мотивировать это, и они зависят от того, какое определение вы хотите выбрать:

1. Симметрии — это такие преобразования, которые не изменяют энергию ни одного состояния.

2. Симметрии — это те преобразования, которые сохраняют инвариантными уравнения движения.

Если вам нравится определение 1. это просто.

$$H U|\psi_n\rangle = E_n U |\psi_n\rangle\;\Longleftrightarrow \; [H,U] = 0\,.$$ Если вам нравится определение 2. возьмите каноническую переменную$q_i$. На картине Гейзенберга $$q_i(t) = e^{i H t/\hbar} q_i e^{-i H t/\hbar}\,,\qquad q_i \to q_i' = U^\dagger q_i U\,.$$ $U$является симметрией, если$q_i'(t) = (q_i(t))'$. Эта точка зрения была рассмотрена в ответе @user1379857.

Если оператор не коммутирует с гамильтонианом, то собственные состояния этого оператора не являются также собственными состояниями гамильтониана. В этом случае говорят, что преобразование, определяемое оператором, не является симметрией системы.

Вот пример из классической физики. Закон о том, что величина и направление вектора углового момента являются постоянными, является следствием теоремы Нётер , где интересующее преобразование представляет собой изменение ориентации в пространстве. Угловой момент сохраняется, потому что пространство не имеет какого-либо предпочтительного направления. Но здесь, на поверхности Земли, пространство имеет предпочтительное направление: оно «вниз». Итак, если у вас есть изолированный объект, вращающийся на поверхности Земли, его угловой момент обычно не является постоянным. Вместо этого ориентация вращающегося объекта прецессирует.

Если у вас есть некоторый оператор, который не коммутирует с гамильтонианом, вы сказали бы, что преобразование, воплощенное этим оператором, не является симметрией вашей системы.