Почему оператор симметрии коммутирует с гамильтонианом?

Question

Почему оператор симметрии коммутирует с гамильтонианом?

риоонг

Предположим, что оператор симметрии $O$ выходит из гамильтониана $H$ без изменений. Из книг я знаю, что должно быть отношение $OH=HO$ . Но я не понимаю, почему это не так $H=HO$ поскольку, когда оператор действует на волновую функцию, мы имеем $H\psi=H(O\psi)$ (Влияние гамильтониана до и после $O$ действует на волновую функцию одинаково). Может ли кто-нибудь объяснить это?

Тобиас Фюнке

Пожалуйста, объясните свое последнее утверждение: почему

H ψ = H (O ψ)

$H\psi = H (O\psi)$ ?

риоонг

Эффект гамильтониана до и после

O

$O$ действует на волновую функцию одинаково.

юпилат13

Ваша интуиция за предложением

H ψ = H (O ψ)

$H\psi=H(O\psi)$ это если

O

$O$ является симметрией, то она должна оставлять волновую функцию неизменной?

риоонг

Возможно. Я не знаю.

Ответы (4)

Почему оператор симметрии коммутирует с гамильтонианом?

Пожалуйста, объясните свое последнее утверждение: почему $H\psi = H (O\psi)$ ?
Эффект гамильтониана до и после $O$ действует на волновую функцию одинаково.
Ваша интуиция за предложением $H\psi=H(O\psi)$ это если $O$ является симметрией, то она должна оставлять волновую функцию неизменной?

РастворимаяРыба · Answer 1

Если $O$ является симметрией и $\psi$ является энергетическим собственным состоянием, то $O\psi$ также должно быть энергетическим собственным состоянием (с тем же собственным значением $E$ ).

С уравнением, которое вы предлагаете, $HO = H$ , у нас есть :

ЧАС О ψ "=" ЧАС ψ "=" Е ψ \neq Е О ψ

$HO\psi = H\psi = E\psi\neq EO\psi$

С другой стороны, с $HO = OH$ , у нас есть :

ЧАС О ψ "=" О ЧАС ψ "=" Е О ψ

$HO \psi = OH\psi =EO\psi$ так

O ψ

$O\psi$ действительно имеет энергию

E

$E$ .

Любопытный Разум · Answer 2

Эта путаница, вероятно, вызвана небрежным языком: $O$ в $[H,O] = HO - OH = 0$ для "симметрии" $O$ на самом деле не симметрия, это генератор симметрии (или «бесконечно малая симметрия») - однопараметрический унитарный оператор $U_O(\epsilon) = \mathrm{e}^{\mathrm{i}O\epsilon}$ связано с $O$ по теореме Стоуна является фактическим оператором симметрии (в смысле теоремы Вигнера , которая говорит, что все симметрии (анти-)унитарны и $O$ является эрмитовым, а не унитарным), для которого гамильтониан «неизменен», как в

U_{О} (ϵ) ЧАС U_{О} (ϵ)^{†} "=" ЧАС .

$U_O(\epsilon)HU_O(\epsilon)^\dagger= H.$ Теперь это действительно утверждение о том, что симметрия оставляет гамильтониан инвариантным, и должно быть нашим фактическим определением того, что означает для оператора быть симметрией. Это уравнение, в свою очередь, означает для генератора, что

[H, O] = 0

$[H,O] = 0$ (например, с помощью формулы BCH ).

Почему вы говорите, что $O$ в вопросе следует обращаться к генератору, а не к симметрии? Сам оператор симметрии ( $U$ в ваших обозначениях) также удовлетворяет $[H,U] = HU - UH = 0$ .
@Noiralef Вы правы, но я рассматриваю это как «случайность», а не как вы должны думать об этом: на более абстрактном уровне (т. Е. Думая об алгебрах и группах симметрии, а не как об их конкретных реализациях в гильбертовом пространстве), коммутатор/скобка Ли является операцией на уровне алгебры, а действие $U$ на $H$ является присоединенным действием элемента группы на алгебре ( $H$ находится в алгебре, потому что она сама является генератором перевода времени). Это сопряженное действие становится коммутатором только при выражении всего в виде конкретных матриц/операторов.
Я понимаю вашу точку зрения, если $O$ в вопросе предполагалось, что это оператор симметрии, отношение чаще выражалось в виде $OHO^{-1} = H$ . Что ж, теперь у ОП есть несколько ответов на выбор, в зависимости от того, что они на самом деле имели в виду под $O$ :-)

Нуаралеф · Answer 3

Было бы поучительно рассмотреть конкретный пример. Давайте рассмотрим $L^2(\mathbb R^2)$ , то есть волновые функции $\psi(x,y)$ в двумерном пространстве и гамильтониан $H = \partial_x^2 + \partial_y^2$ . Мы ожидаем, что это будет симметрично относительно поворотов системы координат, таких как поворот на 90 °.

(О ψ) (Икс, у) "=" ψ (у, - Икс) .

$(O\psi)(x,y) = \psi(y, -x) .$

Давайте оценим:

$(H\psi)(x,y) = \psi_{11}(x,y) + \psi_{22}(x,y)$ (где я использую нижние индексы для обозначения частной производной по первому/второму аргументу)
$(HO\psi)(x,y) = \psi_{22}(y, -x) + \psi_{11}(y, -x)$

Это не одно и то же, и причина в том, что две функции $H\psi$ и $HO\psi$ «живут» в разных системах координат. Итак, что мы действительно хотим сравнить $HO\psi$ это

$(OH\psi)(x,y) = \psi_{11}(y, -x) + \psi_{22}(y, -x)$

Полезным следующим упражнением может быть попытка увидеть, где что-то пойдет не так для гамильтониана. $H_2 = \partial_x^2$ , который не является осесимметричным.

наночеловек · Answer 4

Путаница может быть связана с тем, что в классической физике гамильтониан является скалярной функцией состояния, а преобразование симметрии состояния действительно оставляет гамильтониан инвариантным . Однако квантовый оператор $H$ не скалярная функция, а отображает вектор состояния в другой вектор (в гильбертовом пространстве). $H$ определяет эволюцию волновой функции через зависящее от времени уравнение Шрёдингера

я ℏ \frac{г ψ}{г т} "=" ЧАС ψ .

$i\hbar\frac{d\psi}{dt} = H\psi.$ При условии

ψ

$\psi$ является решением этого уравнения, у нас все равно должно быть решение, если мы заменим его преобразованной волновой функцией

O ψ

$O\psi$ во все времена. Таким образом,

я ℏ \frac{г (О ψ)}{г т} "=" ЧАС О ψ .

$i\hbar\frac{d(O\psi)}{dt} = HO\psi.$ Используя исходное уравнение, левая часть здесь сводится к

O H ψ

$OH\psi$ . Таким образом, симметрия сохраняет решения, если

O H = H O

$OH = HO$ .

Почему оператор симметрии коммутирует с гамильтонианом?

риоонг

Тобиас Фюнке

риоонг

юпилат13

риоонг

Ответы (4)

РастворимаяРыба

Любопытный Разум

Нуаралеф

Любопытный Разум

Нуаралеф

Нуаралеф

наночеловек

В чем смысл коммутирующих гамильтонианов?

Почему преобразования симметрии должны коммутировать с гамильтонианом?

Коммутационное соотношение при временном порядке

Коммутатор и факторизация собственных функций.

Как неэрмитова квантовая механика (PT-симметричная КМ) вписывается в физику?

Как некоммутативность приводит к неопределенности?

Интерпретация коммутаторов генераторов Пуанкаре

Есть ли простое выражение для [x,eixp][x,eixp][x,e^{ixp}]?

Помогите упростить уравнение коммутатора

Оператор перевода и основа позиции