Что такое тензор кривизны Римана, стянутый с метрическим тензором?

Question

Что такое тензор кривизны Римана, стянутый с метрическим тензором?

пользователь12345

Можно ли получить тензор кривизны Риччи «двойным сжатием» тензора кривизны Римана? Например

$R_{\mu\nu}=g^{\sigma\rho}R_{\sigma\mu\rho\nu}$ .

Ответы (2)

Что такое тензор кривизны Римана, стянутый с метрическим тензором?

нервххх · Answer 1

Я не уверен, что вы подразумеваете под «двойным сжатием», но тензор Риччи в локальных координатах определяется выражением

\begin{aligned} р_{мю ν} "=" р_{мю р ν}^{р}, \end{aligned}

$\begin{align} R_{\mu \nu} = R^\rho_{~~\mu \rho \nu}, \end{align}$ что то же самое, что

g^{σ ρ} R_{σ μ ρ ν}

$g^{\sigma \rho} R_{\sigma \mu \rho \nu}$ , именно то, что вы написали.

джошфизика · Answer 2

Да. Выражение для тензора Риччи часто записывается как ( см. здесь )

р_{мю ν} "=" р_{мю α ν}^{α},

$R_{\mu\nu} = R^{\alpha}_{\phantom\alpha \mu\alpha\nu},$ но правая часть - это именно то, что вы написали, поскольку метрика просто повышает первый индекс.

Упс, извините, я не видел ответа @nervxxx, когда писал свой.
Вы все равно получите от меня +1. Кроме того, поскольку мы знаем, что $R_{\mu\nu}=R_{\nu\mu}$ , правильно ли будет сказать, что мы можем поменять местами первый и третий индексы в тензоре Римана, даже если они все внизу?
Ага! Просто к вашему сведению, здесь есть куча весьма полезных тождеств en.wikipedia.org/wiki/Riemann_curvature_tensor

Что такое тензор кривизны Римана, стянутый с метрическим тензором?

пользователь12345

Ответы (2)

нервххх

джошфизика

джошфизика

пользователь12345

джошфизика

Почему тензор Риччи определяется как RμνμσRνμσμR^\mu _{\nu \mu \sigma}?

Идентификация Бьянки с использованием нулевой тетрады

Вывод тензора Вейля

Разница между ∂∂\partial и ∇∇\nabla в общей теории относительности

Каков физический смысл связности и тензора кривизны?

Тензор кручения: определение

Тензор Киллинга и тождество тензора Римана

Почему пространство-время Минковского в полярных координатах трактуется в текстах как плоское пространство-время?

Плоское трехмерное пространство, описываемое сферическими координатами VS искривленное пространство, являющееся поверхностью сферы

Как связаны тензоры кривизны Вейля и Римана с тензором энергии напряжений в ОТО?