Как связаны тензоры кривизны Вейля и Римана с тензором энергии напряжений в ОТО?

Уравнения вакуума Эйнштейна, то есть без материи, допускают возможность кривизны без материи. Например, мы можем рассмотреть гравитационные волны.

Возникает вопрос: существует ли какая-то связь между тензором кривизны Римана и/или тензором Вейля и некоторыми гравитационными «физическими» величинами (такими как тензор энергии-импульса или полная энергия)?

Конечно, на первый взгляд, ковариантного гравитационного тензора энергии-импульса не существует, поэтому кажется, что и связи нет, но, может быть, дело обстоит более тонко?

Вы спрашиваете, почему уравнения связывают только тензор Риччи и энергию-импульс, но не тензор Вейля? Но зачем ожидать чего-то подобного? Например, только два классических уравнения Максвелла связаны с источниками. Это может быть не очень удачная аналогия, но я все же думаю, что вы могли бы сказать что-то о своей мотивации.
@MBN: Мотивация заключается в том, что без материи все еще существует гравитационная энергия (даже если она не поддается локализации), поэтому я спрашивал о какой-либо интересной связи между тензором Римана / Вейля или операциями над ними и гравитационной энергией. количества.
В вакууме тензор энергии-импульса равен 0 по определению. Следовательно, для космологической постоянной 0 , тензор Римана равен тензору Вейля, р а б с г "=" С а б с г . Некоторые идеи получения материи из вакуума были исследованы Уилером (поиск «геонов»). Вы также можете с недоверием взглянуть на fqxi.org/data/essay-contest-files/…
@CristiStoica Возможно, вы это знаете, но Уиллер был не первым со своими «геонами»: Уильям Кингдон Клиффорд предположил, что сама материя может быть кривизной в пространственно-временном многообразии . Однако я должен сказать, что геооны кажутся мне совершенно оригинальной идеей Уилера!
@WetSavannaAnimal, также известный как Род Вэнс: Это правда, что другие, в том числе Риман, Гамильтон, Клиффорд, пытались описать физическую реальность как геометрическую структуру и даже размышляли, может ли материя на самом деле быть геометрическим свойством пространства. Но у них было слишком много «свободы» ( то есть недостатка информации), чтобы получить из этого теорию материи. Они не знали об общей теории относительности, хотя эта была бы невозможна, по крайней мере, без работы Римана. Эйнштейн тоже пытался это сделать. Я упомянул геоны Уилера, потому что он опирался на гравитационные волны, на тензор Вейля, как в вопросе.
@Trimok: «существует возможность кривизны без материи, например, мы можем рассмотреть гравитационные волны». А что было бы источником этих гравитационных волн без материи?
@brightmagus Одно из двух. Во-первых, вы можете думать о вакуумной области, где материи нет, а «источником» является другая колеблющаяся масса, далеко удаленная от рассматриваемой области. Это было бы полностью аналогично изучению электромагнитного поля в пустом пространстве. Иногда мы думаем о плоских волнах или других волновых решениях, которые занимают все пространство, отделенное от какого-либо источника: это верное решение уравнений Максвелла. Из таких моделей можно сделать совершенно правильные выводы о световом луче. Физики делают аналогичные вещи с EFE.
@brightmagus: В дополнение к тому, что сказал Род, возможно, что от Большого взрыва остались первичные гравитационные волны. При Большом взрыве с максимальной энтропией почти вся энергия была бы в этой форме.
Вы можете думать о чем угодно, ребята. Однако мне нравится, чтобы вещи, о которых я думаю в физике, были физическими. Тримок явно не относится только к определенному региону, потому что не было бы смысла упоминать такой тривиальный случай. А насчет ББ без разницы... без комментариев...

Ответы (2)

Есть ли какая-то связь между тензором кривизны Римана [...] и некоторыми гравитационными «физическими» величинами*

Может быть, вы могли бы уточнить, что вы хотите, что можно было бы квалифицировать как «физическое». Кривизну можно наблюдать, а ИМО является физической. Такие проекты, как LIGO, предназначены для обнаружения гравитационных волн. Gravity Probe B был проектом, который достиг своей цели, по сути, подтвердив предсказания ОТО об искривлении пространства-времени вблизи гравитирующего вращающегося тела. Проще говоря, кривизну можно измерить, перемещая гироскоп по замкнутому пути. По сути, это то, что сделал GPB.

Конечно, на первый взгляд не существует ковариантного гравитационного тензора энергии-импульса.

Но это только запрет на определение локальной меры энергии гравитационных волн. Например, в асимптотически плоском пространстве-времени энергия АДМ включает в себя энергию, излучаемую гравитационными волнами в нулевую бесконечность. Если проекты, подобные LIGO, увенчаются успехом, они будут измерять энергию гравитационных волн.

Меня интересует любой подробный пример связи между гравитационными физическими величинами, такими как энергия, излучаемая энергия, тензор энергии-импульса и тензор Римана/Вейля, с вакуумными уравнениями Эйнштейна.
Хорошо, тогда я думаю, что вторая половина моего вопроса должна служить примером такого отношения. Однако я бы возражал против этого определения «физического» как исключающего кривизну по причинам, указанным в первой половине моего ответа.

Первое, что следует учитывать, это то, что тензор Римана может быть выражен через тензор Вейля и тензор Риччи:

р а б с г "=" С а б с г − г а [ г р с ] б − г б [ с р г ] а − 1 3 р г а [ с г г ] б

Тензор Риччи задается уравнением Эйнштейна:

р а б − 1 2 г а б р + Λ г а б "=" 8 π Т а б

Теперь тензор Вейля не определяется EFE. Однако это не может быть произвольным, поскольку тензор Римана должен удовлетворять тождествам Бьянки:

р а б [ с г ; е ] "=" 0

Применяя это последнее условие к первому уравнению, мы получаем, что тензор Вейля должен удовлетворять:

С ; г а б с г "=" Дж а б с
где Дж а б с "=" р с [ а ; б ] + 1 6 г с [ б р ; а ] .

Вы можете найти доказательство здесь .

Теперь вы можете интерпретировать эти уравнения поля как определяющие ту часть кривизны в точке, которая зависит от распределения материи в других точках.

Как связаны тензоры кривизны Вейля и Римана с тензором энергии напряжений в ОТО?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v