Наивные вопросы о модах Голдстоуна и возможной связи двойственности?

Я должен сказать, что у вас есть 3 связанных вопроса, а именно: 1) В какой степени мы можем доверять приближениям, основанным на преобразованиях HP и Jw, 2) Природа спектра низкого возбуждения и 3) Связь с модами Голдстоуна.

Рассмотрим сначала метод Гольштейна-Примакова. Операторы спиновой лестницы для сайта$j$даны

$S^-_j = \sqrt{2S}b_j^\dagger\sqrt{1-\frac{n_j}{2S}}$

и его сопряжение, где$S$это спина вашей модели, в этом случае у нас есть$S=1/2$. Вы делаете приближение$S_j^-=\sqrt{2S}b_j^\dagger$, или, другими словами, извлечение квадратного корня и отбрасывание нелинейных членов, что должно быть хорошо до тех пор, пока$\langle n_j \rangle << S=1/2$. Спин наполовину на самом деле не лучший случай для использования HP, потому что он дает наибольшую ошибку в линейном приближении. Тем не менее продолжим. Для изучения низкоэнергетического спектра мы вводим возбуждения (называемые магнонами) с тепловым распределением согласно BE-статистике.$\langle n_k\rangle =(e^{\beta\omega_k}-1)^{-1}$и посмотреть поправку на намагниченность$\Delta S(T)=S-\langle S_j\rangle$на каждом сайте. В силу трансляционной инвариантности имеем$\langle n_j\rangle =\frac{1}{N}\sum_j \langle n_j\rangle$. Переходя к импульсному представлению, как обычно, получаем

$\Delta S(T)=\int \frac{dk}{2\pi}\frac{1}{e^{\beta\omega_k}-1}$

Легко видеть, что интеграл расходится при малых импульсах как$\Delta S \propto \int_\epsilon \frac{dk}{k^2}\propto\frac{1}{k}$. Это просто пример теоремы Мермина-Вагнера, которая говорит, что в 1-м и 2-м измерениях не происходит спонтанного нарушения симметрии, потому что соответствующие безмассовые голдстоуновские бозоны имеют инфракрасные расходимости. Вы можете проверить, что в 3D коррекция идет как$\Delta S\propto T^{3/2}$. Я вижу, вас интересует ограничение нулевой температуры. Для фермионных теорий теорема Латтинджера-Уорда дает условия, при которых результаты о конечной температуре выполняются в пределе нулевой температуры. Для бозонов несколько сложнее, потому что приходится иметь дело с бозе-конденсацией. Для простого случая модели Гейзенберга в 1D классический результат Коулмана может быть распространен без особых проблем, как он сам отмечает, а именно, исключение спонтанного нарушения симметрии в 1D и, следовательно, отсутствие голдстоуновских мод.

Таким образом, это отвечает на вопрос 3) о модах Голдстоуна (их не существует) и показывает, что, хотя Гольштейн-Примакофф считает разумным, он дает результаты, которые трудно интерпретировать, если говорить о возбуждениях.

А как насчет трансформации JW? Он отлично работает в 1D. На самом деле я думаю, что поучительно работать со всеми терминами. Существует соглашение о сигналах в преобразованиях, но я получаю для полного гамильтониана (в пространстве решетки и без учета членов, которые зависят только от$n_j$и игнорируя границу, потому что я обеспокоен$N\rightarrow \infty$предел.)

$H_f=\sum_j -J\frac{1}{2}(f_j^\dagger f_{j+1}+f_{j+1}^\dagger f_j) -Jn_{j+1}n_j$

с$J>0$. В импульсном пространстве первый член — это кинетический, который вы написали. Второй, как легко заметить, соответствует привлекательному взаимодействию. Поэтому, как только вы ставите возбуждения, вам нужно беспокоиться о том, что фермионы образуют связанные состояния.

На самом деле одномерная модель Гейзенберга точно решаема с помощью Анзаца Бете , и можно показать, что низкоэнергетический спектр состоит из бозонов с щелями, которые с точки зрения JW являются связанными состояниями. Если вы хотите понять конечное$N$Модель анзаца Бете еще лучше, так как вы можете построить точные энергии и соответствующие собственные состояния.

Резюмируя, HP в этом случае не очень заслуживает доверия, лучше смотреть на JW, но в малых размерностях в основном каждое взаимодействие сильно, независимо от того, насколько оно слабо, поэтому стоит выйти за рамки первых членов теории возмущений. И нет моды Голдстоуна, бозона или фермиона, из-за инфракрасной расходимости.

Тем не менее хорошо известно, что в одномерных системах у нас нет теоремы о спиновой статистике, т.е. потому что нет последовательного определения спина. Следовательно, существует отображение бозонов в фермионы. В этой статье обсуждается эквивалентность фермионов и бозонов. Если вам нужны дальнейшие обсуждения, я бы порекомендовал замечательную книгу Джамарчи "Квантовая физика в одном измерении". Вы найдете много информации о жидкостях Латтинджера, бозонизации, а также краткое введение в анзац Бете, дополненное низкоэнергетическими возбуждениями.

Для дальнейшего обсуждения модели Гейзенберга в 1D мне очень нравится «Простая теория магнетизма» Дэниела Мэттиса. Хотя на самом деле это не так просто.

Чтобы узнать о связи между бозонами и фермионами в контексте модели Гейзенберга, ознакомьтесь с этой статьей Люшера , где он обсуждает антиферромагнетик как регуляризацию решетки модели Тирринга, эквивалентность которой Коулман показал модели Синуса-Гордона. Возможно, интересующий вас случай ферромагнетика также имеет аналогичную связь.

Ответом на кажущееся противоречие этих двух преобразований (возбуждения кажутся либо бозонными, либо фермионными) является тот факт, что спины не эквивалентны фермионам, потому что к ним привязана струна, чтобы учесть коммутативную природу спинов на на разных сайтах, см. трансформацию JW на вики .

Поэтому, хотя гамильтониан выражается через фермионы (без струн, что является спецификой одномерных систем), спиновые корреляционные функции не являются фермионными (струны обеспечивают это).

Возбуждения спинов по своей сути являются бозонными, что также видно из точного отображения спинов на хардкорные бозоны (не более одного бозона на узел).

На самом деле, с помощью фермионизации вы можете выразить одномерные бозонные системы с помощью фермионного оператора, хотя корреляционные функции будут соблюдать бозонные коммутационные соотношения, опять же благодаря связям, связанным с фермионами.

В терминах взаимодействия бозонов более высокого порядка в преобразовании ХП скрыта важная тонкость. Если вы включите условия взаимодействия во все порядки, вы обнаружите, что в любом измерении система со спином 1/2 точно двойственна системе жестких бозонов посредством преобразования ХП. В одном измерении (только) он также дуален системе фермионов посредством преобразования JW. Объединив эти два преобразования, как вы предлагаете, мы обнаружим, что в одном измерении фермионы в точности эквивалентны хардкорнымбозоны (и оба эквивалентны цепочкам со спином 1/2). С эвристической точки зрения это связано с тем, что в одномерном пространстве невозможно сплести частицы любого типа вокруг друг друга, поэтому нам не нужно беспокоиться о знаке минус от фермионного обмена. Бозонизация проясняет эту связь: в 1D бозонные и фермионные теории можно относительно легко сопоставить друг с другом.

Таким образом, это просто философский вопрос, следует ли рассматривать возбуждения цепочки со спином 1/2 как бозонные или фермионные — обе картины полезны в разных контекстах. Грубо говоря, бозонная картина обычно более полезна для числовых вычислений, потому что гильбертово пространство имеет более простую структуру тензорного произведения. Фермионная картина иногда более полезна для аналитических расчетов, потому что фермионы более слабо взаимодействуют (иногда даже свободны, как в поперечных изинговских и$XY$цепи). С другой стороны, мы часто используем бозонизацию для сопоставления фермионных систем с бозонными, с которыми легче работать аналитически. А в анзаце Бете бозонные возбуждения концептуально гораздо более естественны, чем фермионные.