Что является важными темами для среднестатистической программы докторантуры США по чистой математике после базовых тем комплексного анализа, абстрактной алгебры и топологии? [закрыто]

Редактировать: Итак, я забыл эту действительно важную вещь. Мой вопрос на самом деле находится в этой структуре: почему доктора наук в США отличаются от европейских докторов наук?

1. После основ топологии, линейной алгебры, абстрактной алгебры, элементарного анализа и комплексного анализа, какие темы являются важными для среднестатистической программы докторантуры по чистой математике в США?

2. Если их нет , то как узнать? Если есть , то какие?

• Угадайте, есть ли они: Это основы следующих тем:

  • Алгебраическая топология, такая как часть II топологии Мункреса.

  • Алгебраическая геометрия и коммутативная алгебра, такие как остальная часть второй половины алгебры Артина.

  • Больше теории групп, например, остальная часть первой половины алгебры Артина.

  • Темы алгебры в абстрактной алгебре Даммита Фута, которых нет в алгебре Артина

  • Элементарная дифференциальная геометрия, такая как многообразия Ту.

• Угадайте, что не включено:

  • основы сложной геометрии

Мой контекст: (Не стесняйтесь просто игнорировать эту нижнюю часть, если она делает мой пост слишком длинным.)

1. Недавно мне отказали в аспирантуре по чистой математике в стране А , где я живу, из-за того, что я недостаточно хорошо разбираюсь в «основных темах».

   • 1а. Профессор сказал, что я не готов получить докторскую степень или даже степень магистра по чистой математике. Я спросил, имел ли он в виду страну А (я был очень осторожен, чтобы не использовать слова «только» или «просто»). Он утверждал, что это для всех «разумных» университетов.

   • 1б. Он утверждал, что средний аспирант первого года обучения в стране А (до начала программы) по топологии или геометрии будет знать основы алгебраической топологии, сложной геометрии, римановой геометрии и больше алгебры, чем элементарной абстрактной алгебры. Некоторыми из конкретных концепций являются Гаусс-Бонне, разветвленные накрытия, кэлеровы многообразия, двойственность Пуанкаре, характеристика Эйлера и т. д. Кроме того, требуется материал о римановых поверхностях (например, Миттаг-Леффлер и Риман-Рох. Я предполагаю, что также Абель-Якоби , Римана-Гурвица, Пуанкаре-Хопфа и список понятий с двумя именами можно продолжить.)

2. Мне интересно, похож ли мой опыт больше на абитуриента в аспирантуру американского типа, чем на аспирантуру европейского типа.

   • 2а. Рассмотрим Университет Джона Хопкинса . Его требования к докторской степени по математике такие же, как и к программам «прямой докторской степени» в трех лучших университетах страны Б , откуда я родом и где я получил степень бакалавра и магистра в области (к сожалению, прикладной) математики. (В этих 3 университетах есть «обычная докторская степень», для которой требуется степень магистра или ее эквивалент, и «прямая докторская степень», для которой требуется только степень бакалавра или ее эквивалент.) И JHU, и 3 лучших университета в стране B на самом деле даже меньше, чем то, что я указал в качестве своего «предположения» выше. .

   • 2б. Но в любом случае, возвращаясь к JHU, там даже говорится: «Тем не менее, факультет принимает очень перспективных студентов, чья подготовка немного не соответствует приведенной выше модели». Другими словами, JHU даже не так строг в отношении этих элементарных требований, но этот университет страны А чрезвычайно строг в отношении этих очень продвинутых требований.

   • 2в. Мне просто очень трудно поверить, что мой отказ от этого университета страны А не связан с этими вопросами США и Европы , которые я задавал раньше. Я хотел бы думать, что мое неприятие состоит в том, что европейским университетам просто нужно больше. У меня нет шансов там без дальнейшего обучения, но у меня есть шанс в США. (И в худшем случае всегда есть Страна Б. )

3. Вы можете увидеть предыдущие версии для более подробной информации.

Скопирую комментарии в пост:

1. Если вы проверяете факт этого профессора, то, что он сказал, довольно глупо. Если вы пытаетесь оценить свою подготовку к какой бы то ни было «средней» программе, вам нужно посоветоваться с ними. — Элизабет Хеннинг

   • (Я думаю, что этот комментарий касается «разумных» вещей.)

2. Я честно не понимаю, что вы здесь ищете. Все программы скажут, что им нужна степень бакалавра по математике или смежной области. (...) Школа среднего уровня, вероятно, ожидает базовую абстрактную алгебру и исчисление с доказательствами. (...) — Элизабет Хеннинг

3. (...) Вполне вероятно, что более половины из них требуют не более тем, чем темы GRE, если это полезная информация. — Элизабет Хеннинг