Квантовое состояние в расширенном базисе или просто ортонормированное множество

Если$B$были основой, у нас было бы$\mathrm{span}(B) = \mathcal{H}$что означает, что любой элемент гильбертова пространства является конечной линейной комбинацией векторов из$B$.

Обычно в квантовой механике$\mathrm{span}(B)$плотен только в$\mathcal{H}$. Это означает, что для получения произвольного элемента нам обычно нужна бесконечная линейная комбинация.

В этом смысле то, что в большинстве учебников называется «ортонормированным базисом», строго базисом не является. Я лично никогда не видел в квантовой механике ситуации, когда желательно иметь истинную основу для$L^2(\mathbb{R}^d)$. Такая база должна быть очень большой. И, в частности, нельзя было бы записать его элементы в виде$\left | \phi_i \right>$.

Кроме того, для некоторых банаховых пространств, таких как$L^1$и$L^\infty$, найти основу достаточно сложно, поэтому имеет значение, принимаете ли вы аксиому выбора.