Свойства спектра самосопряженного оператора в сепарабельном гильбертовом пространстве

(1) Да, точечный спектр в ваших гипотезах счетен: иначе оператор имел бы несчетное множество попарно ортогональных векторов , так как собственные векторы самосопряженного оператора с разными собственными значениями ортогональны. Это невозможно, потому что в каждом гильбертовом пространстве каждый набор (нормализованных) ортогональных векторов может быть дополнен до гильбертова базиса по лемме Цорна, и каждый гильбертов базис счетен, если пространство сепарабельно.

(2) Нет, не обязательно верно, что непрерывный спектр несчетен. Например, у вас может быть только одна точка в непрерывном спектре. Это имеет место для спектра самосопряженного оператора$1/H$, куда$H$— гамильтониан гармонического осциллятора. Единственная точка непрерывного спектра$0$.

КОММЕНТАРИЙ . Однако я не считаю, что дискретный - действительно подходящее прилагательное для точечного спектра. У меня сложилось впечатление, что ваша идея дискретности включает в себя тот факт, что точки изолированы. Это не так для точечного спектра вообще, даже если гильбертово пространство сепарабельно. У вас может быть точечный спектр, совпадающий с рациональными числами, которые плотны в$\mathbb R$как известно.

Действительно, существуют и другие разложения спектра. В рамках определенного подхода определяется так называемый дискретный спектр как часть точечного спектра, состоящая из изолированных собственных значений, собственные пространства которых конечномерны.

Если гильбертово пространство несепарабельно, можно даже построить самосопряженный оператор, точечный спектр которого равен всему$\mathbb R$.

КОММЕНТАРИЙ 2 . Нет необходимости вводить понятие оснащенного гильбертова пространства для определения понятий аппроксимированных собственных значений и собственных векторов. Дан самосопряженный оператор$A:D(A)\to H$в гильбертовом пространстве$H$, можно доказать, что$\lambda \in \sigma_c(A)$если и только если$\lambda$не является собственным значением (в собственном смысле) и для каждого$\epsilon>0$Там есть$\psi_\epsilon \in D(A)$с$||\psi_\epsilon||=1$такой, что$||A\psi_\epsilon - \lambda \psi_\epsilon|| < \epsilon$.

Во-первых, давайте ответим на вопросы именно так, как вы их сформулировали:

Спектр точек всегда дискретен в том смысле, что он состоит из не более чем счетного числа точек.

Это верно путем доказательства следующих результатов: а) пространство, натянутое на все собственные векторы, является замкнутым подпространством гильбертова пространства, следовательно, мы имеем ортонормированную систему собственных векторов, б) два собственных вектора двух различных собственных значений всегда ортогональны, и в) ортонормированная система сепарабельного гильбертова пространства счетна. Последнее следует из того факта, что сепарабельные гильбертовы пространства допускают счетные базы Шаудера (ортонормированные базы) и того факта, что две базы должны иметь одинаковую мощность.

Однако обратите внимание, что в некотором смысле собственные значения не обязательно дискретны в другом смысле этого слова: замыкание множества собственных значений может быть больше. В качестве примера рассмотрим гильбертово пространство$\mathcal{H}$с ортонормированным базисом$|\psi_n\rangle$и определить оператор$K$в качестве$K:|\psi_n\rangle\mapsto 1/n|\psi_n\rangle$. Собственные значения$1/n$которые накапливаются в$0$, которое само по себе не является собственным значением.

С другой стороны, непрерывный спектр может состоять только из одной точки.

В качестве примера рассмотрим тот же оператор, что и выше. Поскольку спектр всегда замкнут,$0$находится внутри спектра, но не является собственным значением. Легко показать, что это единственная точка спектра, не являющаяся собственным значением (причина в том, что$K$компактен, а у компактных операторов собственные значения плотны в спектре). Следовательно$0$есть непрерывный спектр оператора.

[Можно возразить, что эта часть спектра на самом деле не является тем, что вы подразумеваете под «непрерывным спектром» из вашего определения, но я собираюсь использовать здесь обычное определение непрерывного спектра из учебника , которое также подразумевает дихотомию точки. спектр по сравнению с непрерывным спектром.]

Но теперь позвольте мне сказать вам, что ваш первый абзац проблематичен по многим причинам и ввести гораздо больше вещей.

Во-первых, есть так называемый дискретный спектр , который, однако, не эквивалентен точечному спектру оператора.

Определение: пусть$A$— самосопряженный оператор в сепарабельном гильбертовом пространстве. Дискретный спектр состоит из всех изолированных собственных значений, т.е. собственных значений$\lambda$с конечной кратностью такой, что для некоторого$\varepsilon>0$, у нас есть$\sigma(A)\cap (\lambda-\varepsilon,\lambda+\varepsilon)=\{\lambda\}$. Дополнение к дискретному спектру называется существенным спектром .

Например, если взять оператор$K$выше, то дискретный спектр — это именно точечный спектр, тогда как существенный спектр состоит из$0$. С другой стороны, для тождественного оператора$I$, очевидно, точечный спектр (а также спектр) состоит из$1$, но дискретный спектр пуст, так как собственное значение имеет бесконечную кратность.

Идея состоит в том, что «дискретный» на самом деле означает «все собственные значения, которые не являются точками накопления собственных значений». Ясно, что дискретный спектр состоит из не более чем счетного числа значений.

Но это не все. Может показаться довольно прискорбным иметь$0$принадлежать непрерывному спектру компактного оператора$K$. В частности, это делает возможным, чтобы непрерывный спектр состоял только из точек. В то же время собственные значения$K$уже охватывают все гильбертово пространство$\mathcal{H}$, поэтому нет необходимости иметь$0$быть реальной частью спектра. Кроме того, как вы говорите, возможно, вам нужно что-то вроде «непрерывный спектр задается непрерывной частью реальной линии». Для этого вы должны исключить некоторые значения из непрерывного спектра.

Это можно сделать систематически, определив спектральную меру оператора гильбертова пространства и рассмотрев разложение Радона-Никодима меры по мере Лебега на чисто точечную часть, абсолютно непрерывную часть и сингулярно непрерывную часть :

Теорема: Пусть$A$— самосопряженный оператор в сепарабельном гильбертовом пространстве. Позволять$\mu$– спектральная мера, определенная для$A$, затем$\mu$можно разложить в чистую точечную часть$\mu_{pp}$состоящий из всех собственных значений$A$, абсолютно непрерывная часть$\mu_{ac}$(абсолютно непрерывная по мере Лебега) и сингулярно непрерывная часть$\mu_{sc}$(отдых").

Поддержка$\mu_{pp}$(где он отличен от нуля) - это собственные значения$\sigma_{pp}(A)$, поддержка$\mu_{ac}$называется абсолютно непрерывным спектром$\sigma_{ac}(A)$и у нас так же$\sigma_{sc}$. Затем

где верхняя черта обозначает замыкание. Вот интересная часть: мера, абсолютно непрерывная относительно меры Лебега, не может иметь счетного носителя, так как такие множества имеют нулевую меру. Другими словами: для абсолютно (а я думаю, и для сингулярно непрерывного) спектра спектр всегда состоит из несчетного множества точек.

Кроме того, можно определить гильбертово пространство$\mathcal{H}_{pp}$состоящий из всех собственных векторов и гильбертовых спаев$\mathcal{H}_{ac}$и$\mathcal{H}_{sc}$состоящий из всех «приближенных собственных функций» абсолютно и сингулярно непрерывного спектра, и эти три пространства складываются:

В этом смысле это также «правильная» декомпозиция.

Для нашего оператора$K$тогда легко увидеть, что непрерывные части спектра пусты, он имеет только чисто точечный спектр - именно так, как мы хотим.

Обратите внимание, однако, что три спектра не обязательно должны быть непересекающимися. Вы можете иметь непрерывный спектр и некоторые собственные значения, лежащие в непрерывном спектре.

Наконец, давайте немного займемся физикой (хотя бы почти). Есть красивая теорема, которая говорит вам, что последнее разложение является правильным для физики. Это называется теоремой RAGE (см., например, теорему 5.7 в книге Гаральда Тешля «Математические методы в квантовой механике» ), и она в основном говорит вам, что если вы рассматриваете некоторую гамильтонину$H$, чисто точечная часть спектра образует связанные состояния оператора в том смысле, что частицы вечно удерживаются в некоторой области. С другой стороны, абсолютно непрерывная часть формирует неограниченные состояния, которые ускользают и никогда не возвращаются (сингулярно непрерывная часть сложна — обычно вы пытаетесь показать, что ее не существует, но ее можно интерпретировать как неограниченные состояния, которые как бы ускользают в момент времени). бесконечность, а до тех пор снова и снова возвращаться к тому, с чего начинали).