Почему собственные функции, соответствующие дискретным/непрерывным спектрам собственных значений, гарантированно являются нормируемыми/ненормализуемыми?

Question

Почему собственные функции, соответствующие дискретным/непрерывным спектрам собственных значений, гарантированно являются нормируемыми/ненормализуемыми?

Шон Аллен

Эти факты считаются само собой разумеющимися в тексте QM, который я читал. Якобы гарантированная ненормируемость собственных функций, соответствующих непрерывному спектру собственных значений, лишь частично оправдывается автором, который лишь утверждает, что ненормируемость связана с тем, что такие собственные функции не стремятся к нулю на бесконечности.

Не очень удовлетворительный ответ. Что мне действительно нужно, так это объяснение, основанное на функциональном анализе. Я считаю, что существует обобщенный результат о том, что скалярные произведения конечны для дискретных спектров, но бесконечны для непрерывных спектров.

Может кто-нибудь пролить некоторый свет на это?

Qмеханик

Возможный дубликат: physics.stackexchange.com/q/33668/2451

Ответы (2)

Почему собственные функции, соответствующие дискретным/непрерывным спектрам собственных значений, гарантированно являются нормируемыми/ненормализуемыми?

Возможный дубликат: physics.stackexchange.com/q/33668/2451

Тримок · Answer 1

Это может быть математический вопрос. Но если задуматься о физической стороне вопроса, интересно взглянуть на уравнение Шрёдингера:

Для свободных полей (без потенциала) имеем (в ед. $\bar h = m = \omega = 1$ ):

я \frac{\partial Ψ (к, т)}{\partial т} знак равно \frac{к^{2}}{2} Ψ (к, т)

$i\frac{\partial \Psi( k, t)}{\partial t} = \frac{ k^2}{2}\Psi( k, t)$ или же

Е \tilde{Ψ} (к, Е) знак равно \frac{к^{2}}{2} \tilde{Ψ} (к, Е)

$E \tilde \Psi( k, E) = \frac{ k^2}{2} \tilde \Psi( k, E)$

Чьё решение:

Ψ (к, т) \sim е^{- я \frac{к^{2}}{2} т}

$\Psi( k, t) \sim e^{- i \frac{ k^2}{2} t}$

или же

\tilde{Ψ} (к, Е) \sim дельта (Е - \frac{к^{2}}{2})

$\tilde \Psi( k, E) \sim \delta \left(E - \frac{ k^2}{2}\right)$

Здесь $\tilde \Psi( k, E)$ представляет собой преобразование Фурье $\Psi( k, t)$ .

Из формы уравнений видно, что нет никаких ограничений относительно $E$ . Это непрерывный спектр, и это явно ненормируемое решение.

Однако с потенциалами все выглядит иначе, и у вас будут некоторые дифференциальные уравнения, например, для потенциала гармонического осциллятора у вас будет:

Е Ψ (к, Е) знак равно \frac{к^{2}}{2} Ψ (к, Е) - \frac{1}{2} \frac{\partial^{2} Ψ (к, Е)}{\partial к^{2}}

$E \Psi( k, E) = \frac{ k^2}{2} \Psi( k, E) - \frac{1}{2}\frac{\partial^2 \Psi( k, E)}{\partial k^2}$

Решение для $\Psi$ включает дифференциальное уравнение Эрмита (умноженное на некоторую экспоненциальную $e^{-k^2}$ ).

Если E принимает непрерывный характер, то решение Эрмита (с вещественным индексом) не ограничено на бесконечности, и поэтому решение не нормализуется.

Если нам нужно нормализуемое решение, нам нужно (положительное) целочисленное индексированное решение. $H_n$ , имя которому многочлены Эрмита. В этом случае спектр $E$ является дискретным.

Выбор $E$ дискретное (и, следовательно, нормализуемое решение) — это физический выбор. В случае гармонического осциллятора нефизично предполагать, что решение не ограничено на бесконечности.

Случай полиномов Эрмита — это частный случай ортогональных полиномов, который очень хорошо подходит для представления ортонормированных состояний, соответствующих дискретным собственным значениям эрмитова оператора Energy.

Это появилось в другом контексте . Хотя все, что вы говорите, правильно, вы проигнорировали обычный следующий шаг для несвязанной системы, заключающийся в формировании нормализуемых волновых пакетов из ненормируемых асимптотических решений.

Майк Стоун · Answer 2

Вопрос действительно в определении. В математической литературе по самосопряженным операторам «дискретный спектр» по определению — это та часть спектра, которая состоит из нормируемых состояний, а «непрерывный спектр» — это та часть, где они ненормализуемы. Возможна физическая система (например, случайный потенциал на всей реальной линии), в которой все состояния локализованы (и, следовательно, нормализуемы), но собственные энергии образуют непрерывный набор. Пример физики, где только изолированные энергетические уровни являются «дискретными», применим только к простым моделям.

Нет, дискретный и непрерывный спектры не являются таковыми по определению. Они определяются как набор точек, и после этого вы можете, в принципе, проверить, нормализуемы ли их собственные состояния.
Мой плохой ... Я склонен использовать «дискретный спектр» как синоним «точечного спектра», который представляет собой набор собственных состояний, которые являются элементами гильбертова пространства. В любом случае хорошим местом для поиска ссылки Physics<-> Math является en.wikipedia.org/wiki/…
Я вижу, что я не одинок в отождествлении «дискретного спектра» с «точечным спектром»: en.wikipedia.org/wiki/Discrete_spectrum

Почему собственные функции, соответствующие дискретным/непрерывным спектрам собственных значений, гарантированно являются нормируемыми/ненормализуемыми?

Шон Аллен

Qмеханик

Ответы (2)

Тримок

dmckee --- котенок экс-модератор

Майк Стоун

смягченный

Майк Стоун

Майк Стоун

Почему при обобщении дискретных (но бесконечных) собственных состояний на непрерывные собственные состояния мы меняем определение?

Соотношение замыкания для вырожденных собственных множеств

Собственные значения бесконечномерной матрицы [дубликат]

Имеет ли эрмитов оператор H=−d2dx2H=−d2dx2H=-\frac{d^2}{dx^2} мнимые собственные значения?

Почему гарантировано существование скалярных произведений собственных функций оператора с дискретным спектром собственных значений?

Можно ли нормируемую функцию всегда разложить на дискретный спектр водорода?

Резольвентный оператор в QM

Построение дифференциального уравнения по произвольному гамильтониану

Подход к выражению |n⟩⟨n||n⟩⟨n||n\rangle\langle n| как многочлен, когда собственные значения вырождены?

Собственные векторы pxpxp_x в конкретном домене