Давление диполярного магнитного поля

Относительно легко получить потенциальную энергию , запасенную в магнитном поле однородно намагниченной сферы радиусом$R$и полный магнитный момент$\mu$:

$$\begin{equation}\tag{1} U_{\text{magn}} = \frac{\mu_0 \, \mu^2}{4 \pi R^3}. \end{equation}$$

Поле однородно внутри сферы и диполярно с внешней стороны. Он оказывает давление, которое я хочу рассчитать. В термодинамике давление можно определить как частную производную «внутренней» энергии по отношению к изменению объема:

$$\begin{equation}\tag{2} P = -\, \frac{\partial U}{\partial V}. \end{equation}$$ С $V = 4 \pi R^3 / 3$, заманчиво вывести (1) напрямую (предполагая $\mu = \text{constant}$), чтобы получить это соотношение: $$\begin{align} P_{\text{magn} \, 1} = -\, \frac{\partial \,}{\partial V} \Big( \frac{\mu_0 \, \mu^2}{3 V} \Big) &= \frac{\mu_0 \, \mu^2}{3 V^2} \\[12pt] &\equiv \frac{U_{\text{magn}}}{V}. \tag{3} \end{align}$$ Это напоминает жесткое уравнение состояния $p = \rho$.

я так не думаю$\mu$можно рассматривать как независимую переменную (изменение радиуса сферы может повлиять на общий дипольный момент, если нет каких-либо ограничений). Полярное поле$B_{\text{pole}}$относится к$\mu$этим :

$$\begin{equation}\tag{4} \mu(R, B_{\text{pole}}) = \frac{2 \pi B_{\text{pole}}^2 \, R^3}{\mu_0}. \end{equation}$$ Если я предполагаю, что $B_{\text{pole}}$является независимой переменной (это может быть какое-то ограничение), затем подстановка (4) в (1) и вычисление производной дает вместо этого соотношение (отрицательное давление = напряжение !): $$\begin{equation}\tag{5} P_{\text{magn} \, 2} = -\, \frac{\partial \,}{\partial V} \Big( \frac{3 B_{\text{pole}}^2}{4 \mu_0} \, V \Big) = -\, \frac{U_{\text{magn}}}{V}. \end{equation}$$ Это напоминает космологическую постоянную связь состояния: $p = -\, \rho$.

Есть и третья возможность (есть ли другие?). Я могу рассмотреть магнитный поток $\Phi = B_{\text{inside}} \, \pi R^2$как независимая переменная (поток внутреннего поля сферы, проходящий через собственный экватор):

$$\begin{equation}\tag{6} \Phi = \frac{\mu_0 \, \mu}{2 R}. \end{equation}$$ В этом случае давление будет $$\begin{equation}\tag{7} P_{\text{magn} \, 3} = -\, \frac{\partial \,}{\partial V} \Big( \frac{\Phi^2}{\pi \mu_0 \, R} \Big) = \frac{U_{\text{magn}}}{3 V}, \end{equation}$$ которое напоминает электромагнитное уравнение состояния из релятивистской физики: $p = \frac{1}{3} \, \rho$.

я подозреваю, что$P_{\text{magn} \, 3}$должно быть собственным давлением магнитного поля. Но как это обосновать?

Обратите внимание, что$U_{\text{magn}}/V$НЕ является плотностью энергии поля, поскольку она варьируется от одного места к другому (поле вне сферы не является однородным, поскольку оно диполярно). Поэтому я не уверен, как интерпретировать$P$выше правильно, так как это константа (т.е. не зависящая от позиции).

Итак, вопрос в следующем:

Каково полное магнитное давление, испытываемое внешним агентом, которое немного меняет объем намагниченного шара? Я ожидаю этого:

$$\begin{equation}\tag{8} P_{\text{magn} \, 3} = \frac{U_{\text{magn}}}{3 V} = \frac{\mu_0 \, \mu^2}{(4 \pi R^3)^2} \equiv \frac{B_{\text{int}}^2}{4 \mu_0} \equiv \frac{B_{\text{pole}}^2}{4 \mu_0}. \end{equation}$$