Действительно ли правильно говорить, что идентичность Уорда является следствием калибровочной инвариантности?

Question

Действительно ли правильно говорить, что идентичность Уорда является следствием калибровочной инвариантности?

Физика
Калибровочной-теории
Подопечный-идентичность
Квантово-полевая-теория

Цзя Иян

Многие (если не все) материалы, которые я читал, утверждают, что тождество Уорда является следствием калибровочной инвариантности теории, в то время как на самом деле их выводы используют только текущее сохранение $\partial_{μ} J^{μ} = 0$ $\partial_{μ} J^{μ} = 0$ $\partial_{μ} J^{μ} = 0$ $\partial_{μ} J^{μ} = 0$ $\partial_{μ} J^{μ} = 0$ $\partial_{μ} J^{μ} = 0$ $\partial_{μ} J^{μ} = 0$ $\partial_{μ} J^{μ} = 0$ $\partial_{μ} J^{μ} = 0$ $\partial_{μ} J^{μ} = 0$ $\partial_{μ} J^{μ} знак равно 0$ (что эквивалентно только глобальной фазовой симметрии). Мне известен тот факт, что калибровочное поле должно быть связано с сохраняемым током, чтобы сохранить калибровочную инвариантность, но не калибровочное поле также может быть (хотя и не обязательно) связано с сохраняемым током, и в этом случае тождество Уорда должен еще удержаться. Так что вы думаете, что по крайней мере вводить в заблуждение, если не неправильно, утверждать, что идентичность Уорда является следствием калибровочной неизменности?

BebopButUnsteady

Возможно, вы могли бы показать пример, где текущий

J

J

J

точно сохраняется и соединяется с полем

A

с помощью

J

J

J

, но полученная теория не имеет калибровочной симметрии?

BebopButUnsteady

И где идентичность Уорда также подчиняется.

Цзя Иян

@BebopButUnsteady: как насчет массивного векторного поля

A^{μ}

A^{μ}

A^{μ}

^{μ}

в сочетании с некоторым консервативным током

J^{μ}

J^{μ}

J^{μ}

J^{μ}

J^{μ}

? Массовый термин

m^{2} A_{μ} A^{μ}

m^{2} A_{μ} A^{μ}

m^{2} A_{μ} A^{μ}

m^{2} A_{μ} A^{μ}

m^{2} A_{μ} A^{μ}

m^{2} A_{μ} A^{μ}

m^{2} A_{μ} A^{μ}

m^{2} A_{μ} A^{μ}

m^{2} A_{μ} A^{μ}

m^{2} A_{μ} A^{μ}

м^{2}_{μ}^{μ}

нарушает калибровочную симметрию, но тождество Уорда все еще верно, потому что

J^{μ}

J^{μ}

J^{μ}

J^{μ}

J^{μ}

сохраняется

Ответы (3)

Действительно ли правильно говорить, что идентичность Уорда является следствием калибровочной инвариантности?

Возможно, вы могли бы показать пример, где текущий $J$ $J$ $J$ точно сохраняется и соединяется с полем $A$ с помощью $J$ $J$ $J$ , но полученная теория не имеет калибровочной симметрии?
И где идентичность Уорда также подчиняется.
@BebopButUnsteady: как насчет массивного векторного поля $A^{μ}$ $A^{μ}$ $A^{μ}$ $^{μ}$ в сочетании с некоторым консервативным током $J^{μ}$ $J^{μ}$ $J^{μ}$ $J^{μ}$ $J^{μ}$ ? Массовый термин $m^{2} A_{μ} A^{μ}$ $m^{2} A_{μ} A^{μ}$ $m^{2} A_{μ} A^{μ}$ $m^{2} A_{μ} A^{μ}$ $m^{2} A_{μ} A^{μ}$ $m^{2} A_{μ} A^{μ}$ $m^{2} A_{μ} A^{μ}$ $m^{2} A_{μ} A^{μ}$ $m^{2} A_{μ} A^{μ}$ $m^{2} A_{μ} A^{μ}$ $м^{2}_{μ}^{μ}$ нарушает калибровочную симметрию, но тождество Уорда все еще верно, потому что $J^{μ}$ $J^{μ}$ $J^{μ}$ $J^{μ}$ $J^{μ}$ сохраняется

Диего Мазон · Answer 1

Этот ответ частично не согласуется с Motl. Важным моментом является рассмотрение различий между абелевым и неабелевым случаями. Я полностью согласен с ответом Мотла на неабелевом событии - где эти идентичности обычно обозначаются как Славнов-Тейлор, а не Уорда, так что я буду ссылаться на абелевой случай.

Во-первых, несколько слов о терминологии: тождества Уорда являются квантовым аналогом (первой и второй) теоремы Нётер в классической физике. Они применяются как к глобальной, так и к калибровочной симметрии. Тем не менее, термин часто зарезервирован для $U (1)$ $U (1)$ $U (1)$ $U (1)$ $U (1)$ калибровочная симметрия в КЭД. В случае калибровочных симметрий тождества Уорда дают реальные тождества, такие как $k^{μ} M_{μ} = 0$ $k^{μ} M_{μ} = 0$ $k^{μ} M_{μ} = 0$ $k^{μ} M_{μ} = 0$ $k^{μ} M_{μ} = 0$ $k^{μ} M_{μ} = 0$ $k^{μ} M_{μ} = 0$ $k^{μ} M_{μ} = 0$ $k^{μ} M_{μ} = 0$ $k^{μ} M_{μ} = 0$ $К^{μ} M_{μ} знак равно 0$ , где $M_{μ}$ $M_{μ}$ $M_{μ}$ $M_{μ}$ $M_{μ}$ определяется $M = ϵ_{μ} M^{μ}$ $M = ϵ_{μ} M^{μ}$ $M = ϵ_{μ} M^{μ}$ $M = ϵ_{μ} M^{μ}$ $M = ϵ_{μ} M^{μ}$ $M = ϵ_{μ} M^{μ}$ $M = ϵ_{μ} M^{μ}$ $M = ϵ_{μ} M^{μ}$ $M знак равно ε_{μ} M^{μ}$ в КЭД это говорит нам о том, что поляризации фотона, параллельные распространению фотона, не способствуют амплитудам рассеяния. Однако в случае глобальных симметрий тождества Уорда отражают свойства теории. Например, S-матрица теории инвариантов Лоренца также инвариантна Лоренца или число частиц минус античастицы в начальном состоянии такое же, как в конечном состоянии в теории с глобальным (независимо от точки в пространстве-времени) ) $U (1)$ $U (1)$ $U (1)$ $U (1)$ $U (1)$ фазовая инвариантность.

Давайте рассмотрим случай массивного векторного поля, минимально связанного с консервативным током:

L знак равно - \frac{1}{4} F^{2} + \frac{^{2}}{2}^{2} + я \bar{Ψ} ⧸ D Ψ - \frac{м^{2}}{2} \bar{Ψ} Ψ знак равно - \frac{1}{4} F^{2} + \frac{^{2}}{2}^{2} + я \bar{Ψ} ⧸ \partial Ψ - \frac{м^{2}}{2} \bar{Ψ} Ψ - е_{μ} J^{μ}

Обратите внимание, что эта теория имеет глобальную фазовую инвариантность $Ψ \to e^{- i θ} Ψ$ $Ψ \to e^{- i θ} Ψ$ $Ψ \to e^{- i θ} Ψ$ $Ψ \to e^{- i θ} Ψ$ $Ψ \to e^{- i θ} Ψ$ $Ψ \to e^{- i θ} Ψ$ $Ψ \to е^{- я θ} Ψ$ с током Нётер

J^{μ} знак равно \bar{Ψ} γ^{μ} Ψ

такой, что (классически) $\partial_{μ} j^{μ} = 0$ $\partial_{μ} j^{μ} = 0$ $\partial_{μ} j^{μ} = 0$ $\partial_{μ} j^{μ} = 0$ $\partial_{μ} j^{μ} = 0$ $\partial_{μ} j^{μ} = 0$ $\partial_{μ} j^{μ} = 0$ $\partial_{μ} j^{μ} = 0$ $\partial_{μ} j^{μ} = 0$ $\partial_{μ} j^{μ} = 0$ $\partial_{μ} J^{μ} знак равно 0$ , Помимо этой симметрии, хорошо известно, что приведенный выше лагранжиан эквивалентен теории: i) у которой нет явного массового члена для векторного поля. ii) содержит скалярное поле (поле, подобное хиггсовскому) с отличным от нуля значением ожидания вакуума, которое самопроизвольно нарушает $U (1)$ $U (1)$ $U (1)$ $U (1)$ $U (1)$ калибровочная симметрия (эта симметрия не является калиброванной $U (1)$ $U (1)$ $U (1)$ $U (1)$ $U (1)$ глобальная симметрия, упомянутая ранее). Эквивалентность находится в пределе, когда значение ожидания вакуума стремится к бесконечности, а связь между векторным полем и скалярным хиггсовским скаляром стремится к нулю. Поскольку нужно принять этот последний предел, заряд не может быть квантован и, следовательно, $U (1)$ $U (1)$ $U (1)$ $U (1)$ $U (1)$ Калибровочная симметрия должна быть топологически эквивалентна сложению действительных чисел, а не умножению комплексных чисел на единичный модуль (окружность). Различие между обеими группами является только топологическим (означает ли это, что различие не имеет значения в следующем?). Этот механизм принадлежит Штюкельбергу, и я приведу его в конце этого ответа.

В процессе, в котором имеется массивная векторная частица в начальном или конечном состоянии, формула сокращения LSZ дает:

⟨ я | е ⟩ ~ ε_{μ} \int d^{4} Икс е^{- я К \cdot Икс} (η^{μ ν} (\partial^{2} -^{2}) - \partial^{μ} \partial^{ν}),,, ⟨ 0 | T_{ν} (Икс),,, | 0 ⟩

Из вышеприведенного лагранжиана можно получить следующие классические уравнения движения

(η^{μ ν} (\partial^{2} -^{2}) - \partial^{μ} \partial^{ν})_{ν} знак равно е J^{μ}

Тогда, квантово,

(η^{μ ν} (\partial^{2} -^{2}) - \partial^{μ} \partial^{ν}) ⟨ 0 | T_{ν} (Икс),,, | 0 ⟩ знак равно е ⟨ 0 | T J^{μ} (Икс),,, | 0 ⟩ + контактные термины, которые не влияют на S-матрицу

И поэтому

⟨ я | е ⟩ ~ ε_{μ} \int d^{4} Икс е^{- я К \cdot Икс},,, ⟨ 0 | T J^{μ} (Икс),,, | 0 ⟩ + контактные условия, которые не способствуют ~ ε_{μ} M^{μ}

Если заменить $ϵ_{μ}$ $ϵ_{μ}$ $ϵ_{μ}$ $ϵ_{μ}$ $ε_{μ}$ с $k_{μ}$ $k_{μ}$ $k_{μ}$ $k_{μ}$ $К_{μ}$ получаешь

К_{μ} M^{μ} ~ К_{μ} \int d^{4} Икс е^{- я К \cdot Икс},,, ⟨ 0 | T J^{μ} (Икс),,, | 0 ⟩

Использование $k_{μ} \sim \partial_{μ}, e^{- i k \cdot x}$ $k_{μ} \sim \partial_{μ}, e^{- i k \cdot x}$ $k_{μ} \sim \partial_{μ}, e^{- i k \cdot x}$ $k_{μ} \sim \partial_{μ}, e^{- i k \cdot x}$ $k_{μ} \sim \partial_{μ}, e^{- i k \cdot x}$ $k_{μ} \sim \partial_{μ}, e^{- i k \cdot x}$ $k_{μ} \sim \partial_{μ}, e^{- i k \cdot x}$ $k_{μ} \sim \partial_{μ}, e^{- i k \cdot x}$ $k_{μ} \sim \partial_{μ}, e^{- i k \cdot x}$ $k_{μ} \sim \partial_{μ}, e^{- i k \cdot x}$ $k_{μ} \sim \partial_{μ}, e^{- i k \cdot x}$ $k_{μ} \sim \partial_{μ}, e^{- i k \cdot x}$ $К_{μ} ~ \partial_{μ}, е^{- я К \cdot Икс}$ , интегрируя по частям и получая поверхностный член (плоская волна - идеализация, на самом деле это волновой пакет, который стремится к нулю в пространственной бесконечности), получается

К_{μ} M^{μ} ~ \int d^{4} Икс е^{- я К \cdot Икс},,, \partial_{μ} ⟨ 0 | T J^{μ} (Икс),,, | 0 ⟩

Теперь можно использовать идентичность Уорда для глобального $Ψ \to e^{- i θ} Ψ$ $Ψ \to e^{- i θ} Ψ$ $Ψ \to e^{- i θ} Ψ$ $Ψ \to e^{- i θ} Ψ$ $Ψ \to e^{- i θ} Ψ$ $Ψ \to e^{- i θ} Ψ$ $Ψ \to е^{- я θ} Ψ$ симметрия (классически $\partial_{μ} j^{μ} = 0$ $\partial_{μ} j^{μ} = 0$ $\partial_{μ} j^{μ} = 0$ $\partial_{μ} j^{μ} = 0$ $\partial_{μ} j^{μ} = 0$ $\partial_{μ} j^{μ} = 0$ $\partial_{μ} j^{μ} = 0$ $\partial_{μ} j^{μ} = 0$ $\partial_{μ} j^{μ} = 0$ $\partial_{μ} j^{μ} = 0$ $\partial_{μ} J^{μ} знак равно 0$ над решениями вопроса, $Ψ$ $Ψ$ $Ψ$ , уравнения движения)

\partial_{μ} ⟨ 0 | T J^{μ} (Икс),,, | 0 ⟩ знак равно контактные термины, которые не влияют на S-матрицу

И, следовательно

К^{μ} M_{μ} знак равно 0

так же, как в безмассовом случае.

Обратите внимание, что в этом выводе было крайне важно, чтобы явный массовый термин для векторного поля не нарушал глобальное $U (1)$ $U (1)$ $U (1)$ $U (1)$ $U (1)$ симметрии. Это также связано с тем фактом, что явный массовый член для векторного поля может быть получен через механизм, подобный хиггсу, связанный со скрытым (поле, подобное хиггсу, не связывается с остальной частью теории). $U (1)$ $U (1)$ $U (1)$ $U (1)$ $U (1)$ калибровочная симметрия.

Более тщательный расчет должен включать контрмеры в теории взаимодействия, однако я думаю, что это то же самое, что и в безмассовом случае. Мы можем рассматривать поля и параметры в этом ответе как пустые поля и параметры.

Механизм Штюкельберга

Рассмотрим следующий лагранжиан

L знак равно - \frac{1}{4} F^{2} + | d φ |^{2} + μ^{2} | φ |^{2} - λ (φ^{*} φ)^{2}

где $d = \partial - i g B$ $d = \partial - i g B$ $d = \partial - i g B$ $d = \partial - i g B$ $d = \partial - i g B$ $d = \partial - i g B$ $d = \partial - i g B$ $d = \partial - i g B$ $d знак равно \partial - я грамм В$ и $F$ $F$ $F$ напряженность поля (тензор Фарадея) для $B$ $B$ $В$ , Этот лагранжиан инвариантен относительно калибровочного преобразования

В \to В + (1 / грамм) \partial α (Икс)

φ \to е^{я α (Икс)} φ

Давайте возьмем полярную параметризацию для скалярного поля $ϕ$ $ϕ$ $φ$ : $ϕ \equiv \frac{1}{\sqrt{2}} ρ e^{i χ}$ $ϕ \equiv \frac{1}{\sqrt{2}} ρ e^{i χ}$ $ϕ \equiv \frac{1}{\sqrt{2}} ρ e^{i χ}$ $ϕ \equiv \frac{1}{\sqrt{2}} ρ e^{i χ}$ $ϕ \equiv \frac{1}{\sqrt{2}} ρ e^{i χ}$ $ϕ \equiv \frac{1}{\sqrt{2}} ρ e^{i χ}$ $ϕ \equiv \frac{1}{\sqrt{2}} ρ e^{i χ}$ $ϕ \equiv \frac{1}{\sqrt{2}} ρ e^{i χ}$ $ϕ \equiv \frac{1}{\sqrt{2}} ρ e^{i χ}$ $ϕ \equiv \frac{1}{\sqrt{2}} ρ e^{i χ}$ $ϕ \equiv \frac{1}{\sqrt{2}} ρ e^{i χ}$ $ϕ \equiv \frac{1}{\sqrt{2}} ρ e^{i χ}$ $φ \equiv \frac{1}{\sqrt{2}} ρ е^{я χ}$ таким образом

L знак равно - \frac{1}{4} F^{2} + \frac{1}{2} ρ^{2} (\partial_{μ} χ - грамм В_{μ})^{2} + \frac{1}{2} (\partial ρ)^{2} + \frac{μ^{2}}{2} ρ^{2} - \frac{λ}{4} ρ^{4}

Теперь мы можем сделать следующее переопределение поля $A \equiv B - (1 / g) \partial χ$ $A \equiv B - (1 / g) \partial χ$ $A \equiv B - (1 / g) \partial χ$ $A \equiv B - (1 / g) \partial χ$ $A \equiv B - (1 / g) \partial χ$ $A \equiv B - (1 / g) \partial χ$ $\equiv В - (1 / грамм) \partial χ$ и отмечая, что $F_{μ ν} = \partial_{μ} B_{ν} - \partial_{ν} B_{μ} = \partial_{μ} A_{ν} - \partial_{ν} A_{μ}$ $F_{μ ν} = \partial_{μ} B_{ν} - \partial_{ν} B_{μ} = \partial_{μ} A_{ν} - \partial_{ν} A_{μ}$ $F_{μ ν} = \partial_{μ} B_{ν} - \partial_{ν} B_{μ} = \partial_{μ} A_{ν} - \partial_{ν} A_{μ}$ $F_{μ ν} = \partial_{μ} B_{ν} - \partial_{ν} B_{μ} = \partial_{μ} A_{ν} - \partial_{ν} A_{μ}$ $F_{μ ν} = \partial_{μ} B_{ν} - \partial_{ν} B_{μ} = \partial_{μ} A_{ν} - \partial_{ν} A_{μ}$ $F_{μ ν} = \partial_{μ} B_{ν} - \partial_{ν} B_{μ} = \partial_{μ} A_{ν} - \partial_{ν} A_{μ}$ $F_{μ ν} = \partial_{μ} B_{ν} - \partial_{ν} B_{μ} = \partial_{μ} A_{ν} - \partial_{ν} A_{μ}$ $F_{μ ν} = \partial_{μ} B_{ν} - \partial_{ν} B_{μ} = \partial_{μ} A_{ν} - \partial_{ν} A_{μ}$ $F_{μ ν} = \partial_{μ} B_{ν} - \partial_{ν} B_{μ} = \partial_{μ} A_{ν} - \partial_{ν} A_{μ}$ $F_{μ ν} = \partial_{μ} B_{ν} - \partial_{ν} B_{μ} = \partial_{μ} A_{ν} - \partial_{ν} A_{μ}$ $F_{μ ν} = \partial_{μ} B_{ν} - \partial_{ν} B_{μ} = \partial_{μ} A_{ν} - \partial_{ν} A_{μ}$ $F_{μ ν} = \partial_{μ} B_{ν} - \partial_{ν} B_{μ} = \partial_{μ} A_{ν} - \partial_{ν} A_{μ}$ $F_{μ ν} = \partial_{μ} B_{ν} - \partial_{ν} B_{μ} = \partial_{μ} A_{ν} - \partial_{ν} A_{μ}$ $F_{μ ν} = \partial_{μ} B_{ν} - \partial_{ν} B_{μ} = \partial_{μ} A_{ν} - \partial_{ν} A_{μ}$ $F_{μ ν} = \partial_{μ} B_{ν} - \partial_{ν} B_{μ} = \partial_{μ} A_{ν} - \partial_{ν} A_{μ}$ $F_{μ ν} = \partial_{μ} B_{ν} - \partial_{ν} B_{μ} = \partial_{μ} A_{ν} - \partial_{ν} A_{μ}$ $F_{μ ν} = \partial_{μ} B_{ν} - \partial_{ν} B_{μ} = \partial_{μ} A_{ν} - \partial_{ν} A_{μ}$ $F_{μ ν} = \partial_{μ} B_{ν} - \partial_{ν} B_{μ} = \partial_{μ} A_{ν} - \partial_{ν} A_{μ}$ $F_{μ ν} = \partial_{μ} B_{ν} - \partial_{ν} B_{μ} = \partial_{μ} A_{ν} - \partial_{ν} A_{μ}$ $F_{μ ν} = \partial_{μ} B_{ν} - \partial_{ν} B_{μ} = \partial_{μ} A_{ν} - \partial_{ν} A_{μ}$ $F_{μ ν} = \partial_{μ} B_{ν} - \partial_{ν} B_{μ} = \partial_{μ} A_{ν} - \partial_{ν} A_{μ}$ $F_{μ ν} = \partial_{μ} B_{ν} - \partial_{ν} B_{μ} = \partial_{μ} A_{ν} - \partial_{ν} A_{μ}$ $F_{μ ν} = \partial_{μ} B_{ν} - \partial_{ν} B_{μ} = \partial_{μ} A_{ν} - \partial_{ν} A_{μ}$ $F_{μ ν} = \partial_{μ} B_{ν} - \partial_{ν} B_{μ} = \partial_{μ} A_{ν} - \partial_{ν} A_{μ}$ $F_{μ ν} = \partial_{μ} B_{ν} - \partial_{ν} B_{μ} = \partial_{μ} A_{ν} - \partial_{ν} A_{μ}$ $F_{μ ν} = \partial_{μ} B_{ν} - \partial_{ν} B_{μ} = \partial_{μ} A_{ν} - \partial_{ν} A_{μ}$ $F_{μ ν} = \partial_{μ} B_{ν} - \partial_{ν} B_{μ} = \partial_{μ} A_{ν} - \partial_{ν} A_{μ}$ $F_{μ ν} = \partial_{μ} B_{ν} - \partial_{ν} B_{μ} = \partial_{μ} A_{ν} - \partial_{ν} A_{μ}$ $F_{μ ν} = \partial_{μ} B_{ν} - \partial_{ν} B_{μ} = \partial_{μ} A_{ν} - \partial_{ν} A_{μ}$ $F_{μ ν} = \partial_{μ} B_{ν} - \partial_{ν} B_{μ} = \partial_{μ} A_{ν} - \partial_{ν} A_{μ}$ $F_{μ ν} = \partial_{μ} B_{ν} - \partial_{ν} B_{μ} = \partial_{μ} A_{ν} - \partial_{ν} A_{μ}$ $F_{μ ν} = \partial_{μ} B_{ν} - \partial_{ν} B_{μ} = \partial_{μ} A_{ν} - \partial_{ν} A_{μ}$ $F_{μ ν} = \partial_{μ} B_{ν} - \partial_{ν} B_{μ} = \partial_{μ} A_{ν} - \partial_{ν} A_{μ}$ $F_{μ ν} = \partial_{μ} B_{ν} - \partial_{ν} B_{μ} = \partial_{μ} A_{ν} - \partial_{ν} A_{μ}$ $F_{μ ν} знак равно \partial_{μ} В_{ν} - \partial_{ν} В_{μ} знак равно \partial_{μ}_{ν} - \partial_{ν}_{μ}$ также напряженность поля для $A$

L знак равно - \frac{1}{4} F^{2} + \frac{{грамм}^{2}}{2} ρ^{2}^{2} + \frac{1}{2} (\partial ρ)^{2} + \frac{μ^{2}}{2} ρ^{2} - \frac{λ}{4} ρ^{4}

Если $ρ$ $ρ$ $ρ$ имеет значение ожидания вакуума, отличное от нуля $⟨ 0 | ρ | 0 ⟩ = v = \sqrt{\frac{μ^{2}}{λ}}$ $⟨ 0 | ρ | 0 ⟩ = v = \sqrt{\frac{μ^{2}}{λ}}$ $⟨ 0 | ρ | 0 ⟩ = v = \sqrt{\frac{μ^{2}}{λ}}$ $⟨ 0 | ρ | 0 ⟩ = v = \sqrt{\frac{μ^{2}}{λ}}$ $⟨ 0 | ρ | 0 ⟩ = v = \sqrt{\frac{μ^{2}}{λ}}$ $⟨ 0 | ρ | 0 ⟩ = v = \sqrt{\frac{μ^{2}}{λ}}$ $⟨ 0 | ρ | 0 ⟩ = v = \sqrt{\frac{μ^{2}}{λ}}$ $⟨ 0 | ρ | 0 ⟩ = v = \sqrt{\frac{μ^{2}}{λ}}$ $⟨ 0 | ρ | 0 ⟩ = v = \sqrt{\frac{μ^{2}}{λ}}$ $⟨ 0 | ρ | 0 ⟩ = v = \sqrt{\frac{μ^{2}}{λ}}$ $⟨ 0 | ρ | 0 ⟩ = v = \sqrt{\frac{μ^{2}}{λ}}$ $⟨ 0 | ρ | 0 ⟩ = v = \sqrt{\frac{μ^{2}}{λ}}$ $⟨ 0 | ρ | 0 ⟩ = v = \sqrt{\frac{μ^{2}}{λ}}$ $⟨ 0 | ρ | 0 ⟩ = v = \sqrt{\frac{μ^{2}}{λ}}$ $⟨ 0 | ρ | 0 ⟩ знак равно v знак равно \sqrt{\frac{μ^{2}}{λ}}$ , тогда удобно писать $ρ (x) = v + ω (x)$ $ρ (x) = v + ω (x)$ $ρ (Икс) знак равно v + ω (Икс)$ , таким образом

L знак равно - \frac{1}{4} F^{2} + \frac{^{2}}{2}^{2} + {грамм}^{2} v ω^{2} + \frac{{грамм}^{2}}{2} ω^{2}^{2} + \frac{1}{2} (\partial ω)^{2} - \frac{μ^{2}}{2} ω^{2} - λ v ω^{3} - \frac{λ}{4} ω^{4} + \frac{v^{4} λ^{2}}{4}

где $a \equiv g \times v$ $a \equiv g \times v$ $a \equiv g \times v$ $a \equiv g \times v$ $\equiv грамм \times v$ , Если мы сейчас возьмем предел $g \to 0$ $g \to 0$ $g \to 0$ $g \to 0$ $грамм \to 0$ , $v \to \infty$ $v \to \infty$ $v \to \infty$ , сохраняя продукт, $a$ постоянная, получаем

L знак равно - \frac{1}{4} F^{2} + \frac{^{2}}{2}^{2} + \frac{1}{2} (\partial ω)^{2} - \frac{μ^{2}}{2} ω^{2} - λ v ω^{3} - \frac{λ}{4} ω^{4} + \frac{v^{4} λ^{2}}{4}

то есть все термины взаимодействия между $A$ и $ω$ $ω$ $ω$ исчезнуть так, чтобы $ω$ $ω$ $ω$ становится авто-взаимодействующим полем с бесконечной массой, которая отделена от остальной части теории, и поэтому она не играет никакой роли. Таким образом, мы восстанавливаем массивное векторное поле, с которого мы начали.

L знак равно - \frac{1}{4} F^{2} + \frac{^{2}}{2}^{2}

Обратите внимание, что в неабелевой калибровочной теории должны быть нелинейные термины, такие как $\sim g A^{2} \partial A$ $\sim g A^{2} \partial A$ $\sim g A^{2} \partial A$ $\sim g A^{2} \partial A$ $\sim g A^{2} \partial A$ $\sim g A^{2} \partial A$ $\sim g A^{2} \partial A$ $\sim g A^{2} \partial A$ $~ грамм^{2} \partial$ , $\sim g^{2} A^{4}$ $\sim g^{2} A^{4}$ $\sim g^{2} A^{4}$ $\sim g^{2} A^{4}$ $\sim g^{2} A^{4}$ $\sim g^{2} A^{4}$ $\sim g^{2} A^{4}$ $~ {грамм}^{2}^{4}$ , которые мешают нам взять предел $g \to 0$ $g \to 0$ $g \to 0$ $g \to 0$ $грамм \to 0$ ,

Спасибо за исчерпывающий ответ. Похоже, вы согласны с моим утверждением, что идентичность Уорда является следствием нынешнего сохранения или, $U (1)$ $U (1)$ $U (1)$ $U (1)$ $U (1)$ глобальная симметрия, но на самом деле не полученная из калиброванной (или локальной) симметрии. И какое отношение имеет механизм Штюкельберга к моему вопросу?
Кроме того, идентичность Уорда, по-видимому, говорит немного больше, чем «поляризации фотона, параллельные распространению фотона, не способствуют амплитудам рассеяния», потому что для амплитуд рассеяния рассматриваемый импульс внешнего фотона находится на оболочке, в то время как идентичность Уорда сохраняется даже для внеоболочки $k^{μ}$ $k^{μ}$ $k^{μ}$ $k^{μ}$ $К^{μ}$
@JiaYiyang Я не согласен. Калибровочная инвариантность является обязательным требованием. Обратите внимание, что в теории со сложным скалярным полем с квартичным самовоздействием существует глобальная $U (1)$ $U (1)$ $U (1)$ $U (1)$ $U (1)$ симметрии, но нет никакой идентичности Уорда, сходной по духу с QED (есть идентичность Уорда, которая говорит, что число частиц минус число античастиц сохраняется). Та же проблема возникает, если заменить $F_{μ ν}$ $F_{μ ν}$ $F_{μ ν}$ $F_{μ ν}$ $F_{μ ν}$ с $\partial_{μ} A_{ν} - b \partial_{ν} A_{μ}$ $\partial_{μ} A_{ν} - b \partial_{ν} A_{μ}$ $\partial_{μ} A_{ν} - b \partial_{ν} A_{μ}$ $\partial_{μ} A_{ν} - b \partial_{ν} A_{μ}$ $\partial_{μ} A_{ν} - b \partial_{ν} A_{μ}$ $\partial_{μ} A_{ν} - b \partial_{ν} A_{μ}$ $\partial_{μ} A_{ν} - b \partial_{ν} A_{μ}$ $\partial_{μ} A_{ν} - b \partial_{ν} A_{μ}$ $\partial_{μ} A_{ν} - b \partial_{ν} A_{μ}$ $\partial_{μ} A_{ν} - b \partial_{ν} A_{μ}$ $\partial_{μ} A_{ν} - b \partial_{ν} A_{μ}$ $\partial_{μ} A_{ν} - b \partial_{ν} A_{μ}$ $\partial_{μ} A_{ν} - b \partial_{ν} A_{μ}$ $\partial_{μ} A_{ν} - b \partial_{ν} A_{μ}$ $\partial_{μ}_{ν} - б \partial_{ν}_{μ}$ , с $b \neq 1$ $b \neq 1$ $б \neq 1$ в КЭД. Еще есть $\partial j = 0$ $\partial j = 0$ $\partial j = 0$ $\partial j = 0$ $\partial J знак равно 0$ , но не QED-подобная идентификация Уорда.
Я думаю, что случай КЭД плюс массовый член для фотона очень особенный, потому что существует симметрия скрытой калибровки. В моей экспозиции эта скрытая калибровочная симметрия задается преобразованием $B \to B + (1 / g) α$ $B \to B + (1 / g) α$ $B \to B + (1 / g) α$ $B \to B + (1 / g) α$ $В \to В + (1 / грамм) α$ , $χ \to χ + α$ $χ \to χ + α$ $χ \to χ + α$ , Я думаю, что это отвечает и на ваш последний вопрос.
Кстати, мне нравятся ваши вопросы. Они хороши. @JiaYiyang

Цзя Иян · Answer 2

Позвольте мне попытаться ответить на мой собственный вопрос, потратив некоторое время на чтение «квантовой теории поля» Л.Брауна, но я не буду придерживаться его обозначений.

Позвольте мне немного разъяснить терминологию, которую я буду использовать: «Обобщенная идентификация прихода ( GWI )» относится к $(l - k)_{μ} Γ^{μ} (k, l) = i S^{- 1} (k^{'}) - i S^{- 1} (l)$ $(l - k)_{μ} Γ^{μ} (k, l) = i S^{- 1} (k^{'}) - i S^{- 1} (l)$ $(l - k)_{μ} Γ^{μ} (k, l) = i S^{- 1} (k^{'}) - i S^{- 1} (l)$ $(l - k)_{μ} Γ^{μ} (k, l) = i S^{- 1} (k^{'}) - i S^{- 1} (l)$ $(l - k)_{μ} Γ^{μ} (k, l) = i S^{- 1} (k^{'}) - i S^{- 1} (l)$ $(l - k)_{μ} Γ^{μ} (k, l) = i S^{- 1} (k^{'}) - i S^{- 1} (l)$ $(l - k)_{μ} Γ^{μ} (k, l) = i S^{- 1} (k^{'}) - i S^{- 1} (l)$ $(l - k)_{μ} Γ^{μ} (k, l) = i S^{- 1} (k^{'}) - i S^{- 1} (l)$ $(l - k)_{μ} Γ^{μ} (k, l) = i S^{- 1} (k^{'}) - i S^{- 1} (l)$ $(l - k)_{μ} Γ^{μ} (k, l) = i S^{- 1} (k^{'}) - i S^{- 1} (l)$ $(l - k)_{μ} Γ^{μ} (k, l) = i S^{- 1} (k^{'}) - i S^{- 1} (l)$ $(l - k)_{μ} Γ^{μ} (k, l) = i S^{- 1} (k^{'}) - i S^{- 1} (l)$ $(l - k)_{μ} Γ^{μ} (k, l) = i S^{- 1} (k^{'}) - i S^{- 1} (l)$ $(l - k)_{μ} Γ^{μ} (k, l) = i S^{- 1} (k^{'}) - i S^{- 1} (l)$ $(l - k)_{μ} Γ^{μ} (k, l) = i S^{- 1} (k^{'}) - i S^{- 1} (l)$ $(l - k)_{μ} Γ^{μ} (k, l) = i S^{- 1} (k^{'}) - i S^{- 1} (l)$ $(l - k)_{μ} Γ^{μ} (k, l) = i S^{- 1} (k^{'}) - i S^{- 1} (l)$ $(l - k)_{μ} Γ^{μ} (k, l) = i S^{- 1} (k^{'}) - i S^{- 1} (l)$ $(l - k)_{μ} Γ^{μ} (k, l) = i S^{- 1} (k^{'}) - i S^{- 1} (l)$ $(l - k)_{μ} Γ^{μ} (k, l) = i S^{- 1} (k^{'}) - i S^{- 1} (l)$ $(l - k)_{μ} Γ^{μ} (k, l) = i S^{- 1} (k^{'}) - i S^{- 1} (l)$ $(l - k)_{μ} Γ^{μ} (k, l) = i S^{- 1} (k^{'}) - i S^{- 1} (l)$ $(L - К)_{μ} Γ^{μ} (К, L) знак равно я S^{- 1} (К^{'}) - я S^{- 1} (L)$ , где $Γ^{μ} (k, l)$ $Γ^{μ} (k, l)$ $Γ^{μ} (k, l)$ $Γ^{μ} (k, l)$ $Γ^{μ} (k, l)$ $Γ^{μ} (k, l)$ $Γ^{μ} (К, L)$ является электронно-электронно-фотонной вершинной функцией, $S$ $S$ $S$ является (полным) электрон-электронным пропагатором. Я вернусь к этому подробно позже; «Идентификация прихода ( WI )» относится к особому случаю, когда $l \to k$ $l \to k$ $L \to К$ в ГВИ; «Идентификация Уорда-Такахаши ( WTI )» относится к $k_{μ} M^{μ} (k) = 0$ $k_{μ} M^{μ} (k) = 0$ $k_{μ} M^{μ} (k) = 0$ $k_{μ} M^{μ} (k) = 0$ $k_{μ} M^{μ} (k) = 0$ $k_{μ} M^{μ} (k) = 0$ $k_{μ} M^{μ} (k) = 0$ $k_{μ} M^{μ} (k) = 0$ $k_{μ} M^{μ} (k) = 0$ $k_{μ} M^{μ} (k) = 0$ $К_{μ} M^{μ} (К) знак равно 0$ ,

Я должен признаться, когда я задал этот вопрос и когда я поставил слова «... утверждать, что идентичность Уорда является следствием калибровочной инвариантности теории». Я не знал, на какую из трех идентичностей они ссылались, но сейчас по крайней мере, я могу сказать, что GWI действительно является следствием калибровочной инвариантности, а не глобальной фазовой симметрии. Короче если $Γ^{μ}$ $Γ^{μ}$ $Γ^{μ}$ $Γ^{μ}$ $Γ^{μ}$ в GWI принимается за несобственную вершину (т. е. одночастичную приводимую вершину), тогда GWI имеет место для теорий, которые уважают текущее сохранение (или глобальную фазовую симметрию). Однако для теории с калибровочной симметрией мы получаем более сильный GWI, то есть GWI имеет место не только для несобственной вершины, но и для правильной (т.е. неприводимой вершины из 1 частицы).

GWI из неправильной вершины

Сначала давайте посмотрим, как получить GWI для текущего сохранения, и здесь я в основном скопирую из Вайнберга, том I, глава 10. Рассмотрим вакуумный упорядоченный по времени продукт $⟨ T {J^{μ} (x) Ψ_{n} (y) {\bar{Ψ}}_{m} (z)} ⟩$ $⟨ T {J^{μ} (x) Ψ_{n} (y) {\bar{Ψ}}_{m} (z)} ⟩$ $⟨ T {J^{μ} (x) Ψ_{n} (y) {\bar{Ψ}}_{m} (z)} ⟩$ $⟨ T {J^{μ} (x) Ψ_{n} (y) {\bar{Ψ}}_{m} (z)} ⟩$ $⟨ T {J^{μ} (x) Ψ_{n} (y) {\bar{Ψ}}_{m} (z)} ⟩$ $⟨ T {J^{μ} (x) Ψ_{n} (y) {\bar{Ψ}}_{m} (z)} ⟩$ $⟨ T {J^{μ} (x) Ψ_{n} (y) {\bar{Ψ}}_{m} (z)} ⟩$ $⟨ T {J^{μ} (x) Ψ_{n} (y) {\bar{Ψ}}_{m} (z)} ⟩$ $⟨ T {J^{μ} (x) Ψ_{n} (y) {\bar{Ψ}}_{m} (z)} ⟩$ $⟨ T {J^{μ} (x) Ψ_{n} (y) {\bar{Ψ}}_{m} (z)} ⟩$ $⟨ T {J^{μ} (x) Ψ_{n} (y) {\bar{Ψ}}_{m} (z)} ⟩$ $⟨ T {J^{μ} (x) Ψ_{n} (y) {\bar{Ψ}}_{m} (z)} ⟩$ $⟨ T {J^{μ} (x) Ψ_{n} (y) {\bar{Ψ}}_{m} (z)} ⟩$ $⟨ T {J^{μ} (x) Ψ_{n} (y) {\bar{Ψ}}_{m} (z)} ⟩$ $⟨ T {J^{μ} (x) Ψ_{n} (y) {\bar{Ψ}}_{m} (z)} ⟩$ $⟨ T {J^{μ} (x) Ψ_{n} (y) {\bar{Ψ}}_{m} (z)} ⟩$ $⟨ T {J^{μ} (x) Ψ_{n} (y) {\bar{Ψ}}_{m} (z)} ⟩$ $⟨ T {J^{μ} (x) Ψ_{n} (y) {\bar{Ψ}}_{m} (z)} ⟩$ $⟨ T {J^{μ} (x) Ψ_{n} (y) {\bar{Ψ}}_{m} (z)} ⟩$ $⟨ T {J^{μ} (x) Ψ_{n} (y) {\bar{Ψ}}_{m} (z)} ⟩$ $⟨ T {J^{μ} (x) Ψ_{n} (y) {\bar{Ψ}}_{m} (z)} ⟩$ $⟨ T {J^{μ} (x) Ψ_{n} (y) {\bar{Ψ}}_{m} (z)} ⟩$ $⟨ T {J^{μ} (Икс) Ψ_{N} (Y) {\bar{Ψ}}_{м} (Z)} ⟩$ , Схематически это сумма всех диаграмм с 1 внешним пропагатором фотонов и 2 внешними пропагаторами электронов, но с удаленным голым внешним пропагатором фотонов. Теперь Вайнберг определяет $Γ^{μ} (k, l)$ $Γ^{μ} (k, l)$ $Γ^{μ} (k, l)$ $Γ^{μ} (k, l)$ $Γ^{μ} (k, l)$ $Γ^{μ} (k, l)$ $Γ^{μ} (К, L)$ от

\int d^{4} Икс d^{4} Y d^{4} Z е^{- я п Икс} е^{- я К Y} е^{я L Z} ⟨ T {J^{μ} (Икс) Ψ_{N} (Y) {\bar{Ψ}}_{м} (Z)} ⟩ \equiv - я Q S_{N N^{'}} (К) Γ_{N^{'} м^{'}}^{μ} (К, L) S_{м^{'} м} (L) δ^{4} (п + К - L)

где $S_{n m}$ $S_{n m}$ $S_{n m}$ $S_{n m}$ $S_{N м}$ является преобразованием Фурье $T {Ψ_{n} (y) {\bar{Ψ}}_{m} (z)} ⟩$ $T {Ψ_{n} (y) {\bar{Ψ}}_{m} (z)} ⟩$ $T {Ψ_{n} (y) {\bar{Ψ}}_{m} (z)} ⟩$ $T {Ψ_{n} (y) {\bar{Ψ}}_{m} (z)} ⟩$ $T {Ψ_{n} (y) {\bar{Ψ}}_{m} (z)} ⟩$ $T {Ψ_{n} (y) {\bar{Ψ}}_{m} (z)} ⟩$ $T {Ψ_{n} (y) {\bar{Ψ}}_{m} (z)} ⟩$ $T {Ψ_{n} (y) {\bar{Ψ}}_{m} (z)} ⟩$ $T {Ψ_{n} (y) {\bar{Ψ}}_{m} (z)} ⟩$ $T {Ψ_{n} (y) {\bar{Ψ}}_{m} (z)} ⟩$ $T {Ψ_{n} (y) {\bar{Ψ}}_{m} (z)} ⟩$ $T {Ψ_{n} (y) {\bar{Ψ}}_{m} (z)} ⟩$ $T {Ψ_{n} (y) {\bar{Ψ}}_{m} (z)} ⟩$ $T {Ψ_{n} (y) {\bar{Ψ}}_{m} (z)} ⟩$ $T {Ψ_{n} (y) {\bar{Ψ}}_{m} (z)} ⟩$ $T {Ψ_{n} (y) {\bar{Ψ}}_{m} (z)} ⟩$ $T {Ψ_{n} (y) {\bar{Ψ}}_{m} (z)} ⟩$ $T {Ψ_{n} (y) {\bar{Ψ}}_{m} (z)} ⟩$ $T {Ψ_{N} (Y) {\bar{Ψ}}_{м} (Z)} ⟩$ (и опустить дельта-функцию), так что это полный пропагатор электронов. Теперь мы можем видеть $Γ^{μ}$ $Γ^{μ}$ $Γ^{μ}$ $Γ^{μ}$ $Γ^{μ}$ является вершинной функцией после того, как 2 полных пропагатора электронов и 1 голый пропагатор фотона будут убраны, таким образом, она сводится к 1 частице вдоль фотонной линии (т.е. все еще содержит коррекцию поляризации вакуума фотона), следовательно, является неподходящей. Диаграммы включают в себя: введите описание изображения здесь

где пунктирная линия означает, что линия была удалена, и $Γ_{P}^{μ}$ $Γ_{P}^{μ}$ $Γ_{P}^{μ}$ $Γ_{P}^{μ}$ $Γ_{P}^{μ}$ $Γ_{P}^{μ}$ $Γ_{п}^{μ}$ обозначает правильную вершину, и мы можем получить $Γ_{P}^{μ}$ $Γ_{P}^{μ}$ $Γ_{P}^{μ}$ $Γ_{P}^{μ}$ $Γ_{P}^{μ}$ $Γ_{P}^{μ}$ $Γ_{п}^{μ}$ если мы сможем еще больше убрать часть поляризации фотона в вакууме. Остальное в основном вытекает из расчета $\frac{\partial}{\partial x^{μ}} ⟨ T {J^{μ} (x) Ψ_{n} (y) {\bar{Ψ}}_{m} (z)} ⟩$ $\frac{\partial}{\partial x^{μ}} ⟨ T {J^{μ} (x) Ψ_{n} (y) {\bar{Ψ}}_{m} (z)} ⟩$ $\frac{\partial}{\partial x^{μ}} ⟨ T {J^{μ} (x) Ψ_{n} (y) {\bar{Ψ}}_{m} (z)} ⟩$ $\frac{\partial}{\partial x^{μ}} ⟨ T {J^{μ} (x) Ψ_{n} (y) {\bar{Ψ}}_{m} (z)} ⟩$ $\frac{\partial}{\partial x^{μ}} ⟨ T {J^{μ} (x) Ψ_{n} (y) {\bar{Ψ}}_{m} (z)} ⟩$ $\frac{\partial}{\partial x^{μ}} ⟨ T {J^{μ} (x) Ψ_{n} (y) {\bar{Ψ}}_{m} (z)} ⟩$ $\frac{\partial}{\partial x^{μ}} ⟨ T {J^{μ} (x) Ψ_{n} (y) {\bar{Ψ}}_{m} (z)} ⟩$ $\frac{\partial}{\partial x^{μ}} ⟨ T {J^{μ} (x) Ψ_{n} (y) {\bar{Ψ}}_{m} (z)} ⟩$ $\frac{\partial}{\partial x^{μ}} ⟨ T {J^{μ} (x) Ψ_{n} (y) {\bar{Ψ}}_{m} (z)} ⟩$ $\frac{\partial}{\partial x^{μ}} ⟨ T {J^{μ} (x) Ψ_{n} (y) {\bar{Ψ}}_{m} (z)} ⟩$ $\frac{\partial}{\partial x^{μ}} ⟨ T {J^{μ} (x) Ψ_{n} (y) {\bar{Ψ}}_{m} (z)} ⟩$ $\frac{\partial}{\partial x^{μ}} ⟨ T {J^{μ} (x) Ψ_{n} (y) {\bar{Ψ}}_{m} (z)} ⟩$ $\frac{\partial}{\partial x^{μ}} ⟨ T {J^{μ} (x) Ψ_{n} (y) {\bar{Ψ}}_{m} (z)} ⟩$ $\frac{\partial}{\partial x^{μ}} ⟨ T {J^{μ} (x) Ψ_{n} (y) {\bar{Ψ}}_{m} (z)} ⟩$ $\frac{\partial}{\partial x^{μ}} ⟨ T {J^{μ} (x) Ψ_{n} (y) {\bar{Ψ}}_{m} (z)} ⟩$ $\frac{\partial}{\partial x^{μ}} ⟨ T {J^{μ} (x) Ψ_{n} (y) {\bar{Ψ}}_{m} (z)} ⟩$ $\frac{\partial}{\partial x^{μ}} ⟨ T {J^{μ} (x) Ψ_{n} (y) {\bar{Ψ}}_{m} (z)} ⟩$ $\frac{\partial}{\partial x^{μ}} ⟨ T {J^{μ} (x) Ψ_{n} (y) {\bar{Ψ}}_{m} (z)} ⟩$ $\frac{\partial}{\partial x^{μ}} ⟨ T {J^{μ} (x) Ψ_{n} (y) {\bar{Ψ}}_{m} (z)} ⟩$ $\frac{\partial}{\partial x^{μ}} ⟨ T {J^{μ} (x) Ψ_{n} (y) {\bar{Ψ}}_{m} (z)} ⟩$ $\frac{\partial}{\partial x^{μ}} ⟨ T {J^{μ} (x) Ψ_{n} (y) {\bar{Ψ}}_{m} (z)} ⟩$ $\frac{\partial}{\partial x^{μ}} ⟨ T {J^{μ} (x) Ψ_{n} (y) {\bar{Ψ}}_{m} (z)} ⟩$ $\frac{\partial}{\partial x^{μ}} ⟨ T {J^{μ} (x) Ψ_{n} (y) {\bar{Ψ}}_{m} (z)} ⟩$ $\frac{\partial}{\partial x^{μ}} ⟨ T {J^{μ} (x) Ψ_{n} (y) {\bar{Ψ}}_{m} (z)} ⟩$ $\frac{\partial}{\partial x^{μ}} ⟨ T {J^{μ} (x) Ψ_{n} (y) {\bar{Ψ}}_{m} (z)} ⟩$ $\frac{\partial}{\partial x^{μ}} ⟨ T {J^{μ} (x) Ψ_{n} (y) {\bar{Ψ}}_{m} (z)} ⟩$ $\frac{\partial}{\partial x^{μ}} ⟨ T {J^{μ} (x) Ψ_{n} (y) {\bar{Ψ}}_{m} (z)} ⟩$ $\frac{\partial}{\partial x^{μ}} ⟨ T {J^{μ} (x) Ψ_{n} (y) {\bar{Ψ}}_{m} (z)} ⟩$ $\frac{\partial}{\partial x^{μ}} ⟨ T {J^{μ} (x) Ψ_{n} (y) {\bar{Ψ}}_{m} (z)} ⟩$ $\frac{\partial}{\partial x^{μ}} ⟨ T {J^{μ} (x) Ψ_{n} (y) {\bar{Ψ}}_{m} (z)} ⟩$ $\frac{\partial}{\partial {Икс}^{μ}} ⟨ T {J^{μ} (Икс) Ψ_{N} (Y) {\bar{Ψ}}_{м} (Z)} ⟩$ , применяя $\partial_{μ} J^{μ} = 0$ $\partial_{μ} J^{μ} = 0$ $\partial_{μ} J^{μ} = 0$ $\partial_{μ} J^{μ} = 0$ $\partial_{μ} J^{μ} = 0$ $\partial_{μ} J^{μ} = 0$ $\partial_{μ} J^{μ} = 0$ $\partial_{μ} J^{μ} = 0$ $\partial_{μ} J^{μ} = 0$ $\partial_{μ} J^{μ} = 0$ $\partial_{μ} J^{μ} знак равно 0$ а затем преобразование Фурье.

GWI правильной вершины

Теперь я буду претендовать на теорию с локальной калибровочной инвариантностью, GWI имеет место и для собственной вершины $Γ_{P}^{μ}$ $Γ_{P}^{μ}$ $Γ_{P}^{μ}$ $Γ_{P}^{μ}$ $Γ_{P}^{μ}$ $Γ_{P}^{μ}$ $Γ_{п}^{μ}$ , Идея состоит в том, чтобы изолировать $Γ_{P}^{μ}$ $Γ_{P}^{μ}$ $Γ_{P}^{μ}$ $Γ_{P}^{μ}$ $Γ_{P}^{μ}$ $Γ_{P}^{μ}$ $Γ_{п}^{μ}$ от $Γ^{μ}$ $Γ^{μ}$ $Γ^{μ}$ $Γ^{μ}$ $Γ^{μ}$ , Как видно из 2-го рисунка, мы можем сначала добавить голый фотонный пропагатор (давайте обозначим его как $G_{0}^{μ ν}$ $G_{0}^{μ ν}$ $G_{0}^{μ ν}$ $G_{0}^{μ ν}$ $G_{0}^{μ ν}$ $G_{0}^{μ ν}$ ${грамм}_{0}^{μ ν}$ ), а затем удалите полный пропагатор фотонов $G^{μ ν}$ $G^{μ ν}$ $G^{μ ν}$ $G^{μ ν}$ ${грамм}^{μ ν}$ , это,

Γ_{п}^{μ} (К, L) знак равно {грамм}^{- 1} (п)_{ν}^{μ} {грамм}_{0}^{ν ρ} (п) Γ_{ρ} (К, L),

где

p = l - k

p = l - k

п знак равно L - К

,

Таким образом, чтобы имитировать LHS GWI, у нас есть

(L - К)_{μ} Γ_{п}^{μ} (К, L) знак равно п_{μ} {грамм}^{- 1} (п)_{ν}^{μ} {грамм}_{0}^{ν ρ} (п) Γ_{ρ} (К, L) \dots \dots (*),

Теперь вот где калибровочная инвариантность вступает в игру:

Заявление: калибровочная инвариантность ⟹ п_{μ} {грамм}^{- 1} (п)_{ν}^{μ} {грамм}_{0}^{ν ρ} (п) знак равно п^{ρ},

Если утверждение верно, мы сразу получаем из уравнения $(*)$ $(*)$ $(*)$ это

п_{μ} Γ_{п}^{μ} (К, L) знак равно п_{ρ} Γ^{ρ} (К, L),

и так как GWI держит для

Γ^{ρ} (k, l)

Γ^{ρ} (k, l)

Γ^{ρ} (k, l)

Γ^{ρ} (k, l)

Γ^{ρ} (k, l)

Γ^{ρ} (k, l)

Γ^{ρ} (К, L)

отсюда мы можем заключить, что это также верно для

Γ_{P}^{μ} (k, l)

Γ_{P}^{μ} (k, l)

Γ_{P}^{μ} (k, l)

Γ_{P}^{μ} (k, l)

Γ_{P}^{μ} (k, l)

Γ_{P}^{μ} (k, l)

Γ_{P}^{μ} (k, l)

Γ_{P}^{μ} (k, l)

Γ_{п}^{μ} (К, L)

,

Вот эскиз доказательства вышеприведенного утверждения: с параметром калибровки $ξ$ $ξ$ $ξ$ мы можем написать инверсию голого пропагатора как

{грамм}_{0}^{- 1} (п)_{μ ν} знак равно ({грамм}_{μ ν} п^{2} - п_{μ} п_{ν}) - \frac{1}{ξ} п_{μ} п_{ν},

Из-за калибровочной инвариантности полный пропагатор отличается только от чистого в поперечной части, а продольная часть остается той же, то есть

{грамм}^{- 1} (п)_{μ ν} знак равно ({грамм}_{μ ν} п^{2} - п_{μ} п_{ν}) F (п^{2}) - \frac{1}{ξ} п_{μ} п_{ν},

Сама эта теорема включает в себя еще одно не столь короткое доказательство, и ее можно найти в книге Брауна. В любом случае, ключевой момент заключается в том, что для ее доказательства необходима локальная симметрия, глобальной симметрии недостаточно. Вставьте общие формы двух пропагаторов, можно легко доказать утверждение.

Это противоречит теории без калибровочной инвариантности (например, вы можете получить пропагатор массивного векторного поля, выполнив замену $\frac{1}{ξ} \to m^{2}$ $\frac{1}{ξ} \to m^{2}$ $\frac{1}{ξ} \to m^{2}$ $\frac{1}{ξ} \to m^{2}$ $\frac{1}{ξ} \to m^{2}$ $\frac{1}{ξ} \to m^{2}$ $\frac{1}{ξ} \to m^{2}$ $\frac{1}{ξ} \to m^{2}$ $\frac{1}{ξ} \to м^{2}$ ), там полный пропагатор также изменит продольную часть, чтобы он стал

{грамм}^{- 1} (п)_{μ ν} знак равно ({грамм}_{μ ν} п^{2} - п_{μ} п_{ν}) F (п^{2}) - \frac{1}{ξ} ЧАС (п^{2}) п_{μ} п_{ν},

тогда, если вы выполните расчет в выписке, вы получите что-то вроде

p_{μ} G^{- 1} (p)_{ν}^{μ} G_{0}^{ν ρ} (p) = H (p^{2}) p^{ρ}

p_{μ} G^{- 1} (p)_{ν}^{μ} G_{0}^{ν ρ} (p) = H (p^{2}) p^{ρ}

p_{μ} G^{- 1} (p)_{ν}^{μ} G_{0}^{ν ρ} (p) = H (p^{2}) p^{ρ}

p_{μ} G^{- 1} (p)_{ν}^{μ} G_{0}^{ν ρ} (p) = H (p^{2}) p^{ρ}

p_{μ} G^{- 1} (p)_{ν}^{μ} G_{0}^{ν ρ} (p) = H (p^{2}) p^{ρ}

p_{μ} G^{- 1} (p)_{ν}^{μ} G_{0}^{ν ρ} (p) = H (p^{2}) p^{ρ}

p_{μ} G^{- 1} (p)_{ν}^{μ} G_{0}^{ν ρ} (p) = H (p^{2}) p^{ρ}

p_{μ} G^{- 1} (p)_{ν}^{μ} G_{0}^{ν ρ} (p) = H (p^{2}) p^{ρ}

p_{μ} G^{- 1} (p)_{ν}^{μ} G_{0}^{ν ρ} (p) = H (p^{2}) p^{ρ}

p_{μ} G^{- 1} (p)_{ν}^{μ} G_{0}^{ν ρ} (p) = H (p^{2}) p^{ρ}

p_{μ} G^{- 1} (p)_{ν}^{μ} G_{0}^{ν ρ} (p) = H (p^{2}) p^{ρ}

p_{μ} G^{- 1} (p)_{ν}^{μ} G_{0}^{ν ρ} (p) = H (p^{2}) p^{ρ}

p_{μ} G^{- 1} (p)_{ν}^{μ} G_{0}^{ν ρ} (p) = H (p^{2}) p^{ρ}

p_{μ} G^{- 1} (p)_{ν}^{μ} G_{0}^{ν ρ} (p) = H (p^{2}) p^{ρ}

p_{μ} G^{- 1} (p)_{ν}^{μ} G_{0}^{ν ρ} (p) = H (p^{2}) p^{ρ}

p_{μ} G^{- 1} (p)_{ν}^{μ} G_{0}^{ν ρ} (p) = H (p^{2}) p^{ρ}

p_{μ} G^{- 1} (p)_{ν}^{μ} G_{0}^{ν ρ} (p) = H (p^{2}) p^{ρ}

p_{μ} G^{- 1} (p)_{ν}^{μ} G_{0}^{ν ρ} (p) = H (p^{2}) p^{ρ}

p_{μ} G^{- 1} (p)_{ν}^{μ} G_{0}^{ν ρ} (p) = H (p^{2}) p^{ρ}

p_{μ} G^{- 1} (p)_{ν}^{μ} G_{0}^{ν ρ} (p) = H (p^{2}) p^{ρ}

p_{μ} G^{- 1} (p)_{ν}^{μ} G_{0}^{ν ρ} (p) = H (p^{2}) p^{ρ}

p_{μ} G^{- 1} (p)_{ν}^{μ} G_{0}^{ν ρ} (p) = H (p^{2}) p^{ρ}

p_{μ} G^{- 1} (p)_{ν}^{μ} G_{0}^{ν ρ} (p) = H (p^{2}) p^{ρ}

p_{μ} G^{- 1} (p)_{ν}^{μ} G_{0}^{ν ρ} (p) = H (p^{2}) p^{ρ}

p_{μ} G^{- 1} (p)_{ν}^{μ} G_{0}^{ν ρ} (p) = H (p^{2}) p^{ρ}

p_{μ} G^{- 1} (p)_{ν}^{μ} G_{0}^{ν ρ} (p) = H (p^{2}) p^{ρ}

p_{μ} G^{- 1} (p)_{ν}^{μ} G_{0}^{ν ρ} (p) = H (p^{2}) p^{ρ}

p_{μ} G^{- 1} (p)_{ν}^{μ} G_{0}^{ν ρ} (p) = H (p^{2}) p^{ρ}

p_{μ} G^{- 1} (p)_{ν}^{μ} G_{0}^{ν ρ} (p) = H (p^{2}) p^{ρ}

p_{μ} G^{- 1} (p)_{ν}^{μ} G_{0}^{ν ρ} (p) = H (p^{2}) p^{ρ}

p_{μ} G^{- 1} (p)_{ν}^{μ} G_{0}^{ν ρ} (p) = H (p^{2}) p^{ρ}

p_{μ} G^{- 1} (p)_{ν}^{μ} G_{0}^{ν ρ} (p) = H (p^{2}) p^{ρ}

п_{μ} {грамм}^{- 1} (п)_{ν}^{μ} {грамм}_{0}^{ν ρ} (п) знак равно ЧАС (п^{2}) п^{ρ}

(или, может быть

\frac{1}{H (p^{2})} p^{ρ}

\frac{1}{H (p^{2})} p^{ρ}

\frac{1}{H (p^{2})} p^{ρ}

\frac{1}{H (p^{2})} p^{ρ}

\frac{1}{H (p^{2})} p^{ρ}

\frac{1}{H (p^{2})} p^{ρ}

\frac{1}{H (p^{2})} p^{ρ}

\frac{1}{H (p^{2})} p^{ρ}

\frac{1}{H (p^{2})} p^{ρ}

\frac{1}{H (p^{2})} p^{ρ}

\frac{1}{H (p^{2})} p^{ρ}

\frac{1}{H (p^{2})} p^{ρ}

\frac{1}{H (p^{2})} p^{ρ}

\frac{1}{H (p^{2})} p^{ρ}

\frac{1}{ЧАС (п^{2})} п^{ρ}

не могу вспомнить) Тогда для правильной вершины GWI изменяется на

п_{μ} Γ_{п}^{μ} (К, L) знак равно ЧАС (п^{2}) [я S^{- 1} (К^{'}) - я S^{- 1} (L)],

что не слишком хорошо, например, нельзя получить хорошее отношение перенормировки

Z_{1} = Z_{2}

Z_{1} = Z_{2}

Z_{1} = Z_{2}

Z_{1} = Z_{2}

Z_{1} = Z_{2}

Z_{1} = Z_{2}

Z_{1} = Z_{2}

Z_{1} = Z_{2}

Z_{1} знак равно Z_{2}

для правильной вершины. Кроме того, это означает, что в калибровочной теории мы можем рассматривать (правильную) перенормировку вершин отдельно от поляризации вакуума, в то время как в массивной векторной теории поляризация вакуума должна приниматься во внимание.

PS : Браун также дает второе доказательство правильной вершины WI, используя эффективную технику действия, которая в некотором смысле «короче». Однако для этого требуется гораздо больше предварительных знаний об эффективных действиях, а также не будет так удобно контрастировать между ролевой калибровочной инвариантностью и текущим сохранением в GWI, поэтому я не принял этот метод здесь.

@drake: не стесняйтесь комментировать.
Хороший ответ! Я думаю, что если массовый термин создается механизмом, подобным хиггсовскому, то идентичность также сохраняется, как указывает статья НАКАНИШИ (ссылка на которую дан в ответе Мотля). Что вы думаете?
@drake: Я не могу полностью понять статью, так как я не изучил спонтанное нарушение симметрии, и статья не полностью автономна. Но я думаю, да, так как NAKANISHI говорил о правильной вершине.
Извините за этот вопрос, но я буду благодарен, если вы ответите. Вайнберг предполагает, что функция Грина $\begin{matrix} (1) & \int d^{4} Икс d^{4} Y d^{4} Z е^{я п Икс + я К Y - я L Z} ⟨ | \hat{T} ({\hat{J}}^{μ} (Икс) {\hat{Ψ}}_{N} (Y) {\bar{\hat{Ψ}}}_{м} (Z)) | ⟩ \end{matrix}$ содержит сумму диаграмм с двумя электронными полными пропагаторами и фотонной внешней линией. Но я не вижу ${\hat{A}}_{μ}$ ${\hat{A}}_{μ}$ ${\hat{A}}_{μ}$ ${\hat{A}}_{μ}$ ${\hat{A}}_{μ}$ ${\hat{}}_{μ}$ под время заказа операции ( ${\hat{J}}^{μ}$ ${\hat{J}}^{μ}$ ${\hat{J}}^{μ}$ ${\hat{J}}^{μ}$ ${\hat{J}}^{μ}$ ${\hat{J}}^{μ}$ ${\hat{J}}^{μ}$ не содержит), поэтому я не понимаю, почему диаграммы $(1)$ $(1)$ $(1)$ содержат внешнюю фотонную линию. Вы можете это объяснить?
@JiaYiyang, отлично! это действительно впечатляющий ответ. Мне было интересно, как WI, выраженный в текущем и в правильной вершине, связан в течение длительного времени. Да, теперь действительно ваш ответ показал, что правильная вершина WI зависит от калибровочной симметрии, а не только от глобальной симметрии!

Любош Мотль · Answer 3

Идентичность Уорда следует из калибровочной симметрии, и эти вещи можно увидеть, не упоминая какого-либо тока. Личность Уорда говорит $k_{μ} M^{μ} (k) = 0$ $k_{μ} M^{μ} (k) = 0$ $k_{μ} M^{μ} (k) = 0$ $k_{μ} M^{μ} (k) = 0$ $k_{μ} M^{μ} (k) = 0$ $k_{μ} M^{μ} (k) = 0$ $k_{μ} M^{μ} (k) = 0$ $k_{μ} M^{μ} (k) = 0$ $k_{μ} M^{μ} (k) = 0$ $k_{μ} M^{μ} (k) = 0$ $К_{μ} M^{μ} (К) знак равно 0$ который действительно говорит, что продольная поляризация калибровочного бозона, с чистым калибровочным вектором поляризации, пропорциональным импульсу, $ϵ_{μ} \sim k_{μ}$ $ϵ_{μ} \sim k_{μ}$ $ϵ_{μ} \sim k_{μ}$ $ϵ_{μ} \sim k_{μ}$ $ϵ_{μ} \sim k_{μ}$ $ϵ_{μ} \sim k_{μ}$ $ϵ_{μ} \sim k_{μ}$ $ϵ_{μ} \sim k_{μ}$ $ε_{μ} ~ К_{μ}$ , «разъединяет», то есть его взаимодействия (амплитуды рассеяния) с любым набором физических частиц исчезают.

Это исчезновение подразумевает симметрию - теперь да, $k_{μ} M^{μ} (k)$ $k_{μ} M^{μ} (k)$ $k_{μ} M^{μ} (k)$ $k_{μ} M^{μ} (k)$ $k_{μ} M^{μ} (k)$ $k_{μ} M^{μ} (k)$ $k_{μ} M^{μ} (k)$ $k_{μ} M^{μ} (k)$ $k_{μ} M^{μ} (k)$ $k_{μ} M^{μ} (k)$ $К_{μ} M^{μ} (К)$ может также интерпретироваться как коррелятор, включая $\partial_{μ} J^{μ}$ $\partial_{μ} J^{μ}$ $\partial_{μ} J^{μ}$ $\partial_{μ} J^{μ}$ $\partial_{μ} J^{μ}$ $\partial_{μ} J^{μ}$ $\partial_{μ} J^{μ}$ $\partial_{μ} J^{μ}$ $\partial_{μ} J^{μ}$ , консервативный ток - и эта симметрия является калибровочной симметрией, потому что калибровочное поле может иметь только ненулевое $k^{μ}$ $k^{μ}$ $k^{μ}$ $k^{μ}$ $К^{μ}$ т.е. зависимость от пространства-времени, если мы позволим параметру симметрии зависеть от пространства-времени.

Поля с доп. $m^{2} A^{μ} A_{μ}$ $m^{2} A^{μ} A_{μ}$ $m^{2} A^{μ} A_{μ}$ $m^{2} A^{μ} A_{μ}$ $m^{2} A^{μ} A_{μ}$ $m^{2} A^{μ} A_{μ}$ $m^{2} A^{μ} A_{μ}$ $m^{2} A^{μ} A_{μ}$ $m^{2} A^{μ} A_{μ}$ $m^{2} A^{μ} A_{μ}$ $м^{2}^{μ}_{μ}$ и т. д. больше не связаны с сохраняемым током, потому что ток изменяется дополнительным $m^{2} A_{μ}$ $m^{2} A_{μ}$ $m^{2} A_{μ}$ $m^{2} A_{μ}$ $m^{2} A_{μ}$ $m^{2} A_{μ}$ $m^{2} A_{μ}$ $м^{2}_{μ}$ - потому что это выглядит как множитель $A_{μ}$ $A_{μ}$ $A_{μ}$ $_{μ}$ в терминах, которые вы только что добавили - это также означает, что тождество Уорда не будет сохраняться, если вы нарушите симметрию таким явным образом (тождество Уорда будет нарушено « более управляемо », если вы нарушите симметрию спонтанно, а не явно, потому что полный лагранжиан все еще имеет калибровочную симметрию, т. е. калибровочное поле, связанное с сохраняемым током).

Я только что написал ответ, который частично не согласен с вашим. Было бы хорошо, если бы вы могли указать на любую ошибку, которую вы видите в моих выводах или рассуждениях.

Действительно ли правильно говорить, что идентичность Уорда является следствием калибровочной инвариантности?

Цзя Иян

BebopButUnsteady

BebopButUnsteady

Цзя Иян

Ответы (3)

Диего Мазон

Цзя Иян

Цзя Иян

Диего Мазон

Диего Мазон

Диего Мазон

Цзя Иян

Цзя Иян

Диего Мазон

Цзя Иян

Эндрю МакАддамс

LYG

Любош Мотль

Цзя Иян

Диего Мазон

Полный фотонный пропагатор в расчете S-матрицы

Тождество Уорда, полученное из глобальной симметрии и SDE, отличается от того, что получено из калибровочной симметрии?

ϕ 4 ϕ4 теория кинков как фермионов?

Лагранжиан поля Шредингера

Рассеяние, возмущение и асимптотические состояния в формуле редукции LSZ

Momentum Shell RG для модели Ising

Если фотоны несут 1 спиновую единицу, почему у видимого света нет углового момента?

Интегралы по числам Грассмана

Как понять идею функциональной перенормировочной группы?

Зачем рассматривать сложное скалярное поле и его комплексное сопряжение как два разных поля?