Как понять идею функциональной перенормировочной группы?

Я смотрел на то, как использовать функциональный метод RG в системах многих тел, но я не могу понять, как это выглядит, он выглядит иначе, чем подход RG Уилсона (например, почему мы должны интегрировать поле всей энергии уровень?). Надеюсь, кто-нибудь может дать хорошее объяснение.

Ответы (1)

FRG можно рассматривать как современную версию Wilson RG, хотя технические детали, конечно, очень разные. Но в целом, если бы можно было делать все вычисления точно, все эти разные версии были бы одинаковыми.

Теперь об этих технических различиях. В Уилсоне Р.Г. (и в функциональной версии Полчинского) каждый работает с воздействием низкой энергии для мод с низкой энергией, то есть изучает поток S К [ φ Q < к ] S К [ φ Q < К ] определяется как

е - S К [ φ Q < к ] = ∫ D φ Q > к е - S [ φ Q < к + φ Q > к ] , е - S К [ φ Q < К ] знак равно ∫ D φ Q > К е - S [ φ Q < К + φ Q > К ] ,
где S [ ϕ ] S [ φ ] микроскопическое действие на шкале отсечки Λ Λ (до того, как любые колебания были интегрированы). Уилсон (и Полчинский) дают нам уравнение потока ∂ К S К = … ∂ К S К знак равно ... который должен быть решен так или иначе.

В ФРГ (по крайней мере, версия Веттериха) никто не работает с S К S К , который сам по себе не очень полезный объект. Действительно, для вычисления корреляционных функций необходимо следовать потоку (нелокальных) исходных терминов, что на самом деле не вариант. Тогда лучше работать с объектом, который имеет физическую интерпретацию, когда масштаб импульса К К идет к 0 0 , который будет эффективным действием Γ [ ϕ ] Γ [ φ ] или свободная энергия Гиббса, преобразование Лежандра производящего функционала связных корреляционных функций W = ln Z W знак равно пер ⁡ Z по отношению к линейным источникам. Зависит от параметра заказа ϕ = ⟨φ⟩ φ знак равно ⟨ φ ⟩ ,

Для этого вводится член регулятора в интеграл пути Δ S К Δ S К , который будет воспроизводить (плавно) развязку Вильсона (моды с Q > к Q > К интегрированы, а не остальные). Функция разделения тогда

Z К [ J ] = ∫ D φ е - S [ φ ] - ΔS К [ ϕ ] + ∫ J φ , Z К [ J ] знак равно ∫ D φ е - S [ φ ] - Δ S К [ φ ] + ∫ J φ ,
Из-за срока регулирования, Z К [ J ] Z К [ J ] довольно точная функция разбиения для режима с Q > к Q > К и функция разбиения среднего поля для мод с Q < к Q < К , Зависимое от масштаба эффективное действие затем определяется как модифицированное преобразование Лежандра W К = ln Z К W К знак равно пер ⁡ Z К от
Γ К [ ϕ ] = - W К [ J К [ ϕ ] ] + ∫ J К [ ϕ ] ϕ - ΔS К [ ϕ ] , δ Γ К δ φ = J К [ ϕ ] . Γ К [ φ ] знак равно - W К [ J К [ φ ] ] + ∫ J К [ φ ] φ - Δ S К [ φ ] , δ Γ К δ φ знак равно J К [ φ ] ,
Вычитание Δ S К [ ϕ ] Δ S К [ φ ] это просто технический. В пределе k → Λ К → Λ Мы хотим подавить все колебания, и Δ S k = Λ [ φ ] → ∞ Δ S К знак равно Λ [ φ ] → ∞ , и что
Γ Λ [ ϕ ] = S [ ϕ ] , Γ Λ [ φ ] знак равно S [ φ ] ,
это среднее поле (микроскопическое) действие. Кроме того, когда к = 0 К знак равно 0 , Δ S к = 0 [ φ ] = 0 Δ S К знак равно 0 [ φ ] знак равно 0 , и
Γ к = 0 [ ϕ ] = Γ [ ϕ ] , Γ К знак равно 0 [ φ ] знак равно Γ [ φ ] ,
становится точным (квантовым) эффективным действием. Различая в отношении К К получаем уравнение потока для Γ К [ ϕ ] Γ К [ φ ] , который интерполирует между средним полем (микроскопическим) и точным (квантовым) эффективным действием.

Это уравнение потока не может быть решено точно, и есть несколько схем приближения, чтобы упростить эту задачу. Преимущество этого метода состоит в том, что он допускает непертурбативные приближения (в смысле ε ε расширение). В частности, простейшие приближения являются точными в одном цикле, восстановить первый порядок 4 - ϵ 4 - ε и 2 + ϵ 2 + ε расширение, а также большое расширение N. Существуют также схемы, которые позволяют сохранять большую часть микроскопической физики и позволяют рассчитывать фазовые диаграммы (например) квантовых систем многих тел. Наконец, преимущество работы с Γ Γ в том, что мы можем извлекать из него физическую информацию (а не только фиксированные точки потока, хотя, конечно, можно и это делать). В частности, можно вычислить корреляционные функции для всех импульсов, близких к критической точке, довольно сложная задача.

Для меня лучшее введение - это представление Б. Деламотта: arxiv: 0702.365

Как понять идею функциональной перенормировочной группы?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности54y, 0v