Деквантование правила квантования Дирака

Не знаю насчет глубоких вопросов. И люди, кажется, дают здесь довольно глубокие ответы. Мой вклад в том, чтобы показать

$$\lim_{\hbar \to \infty} \frac{1}{i\hbar}[ F(p,x) , G(p,x)] = \{F(p,x), G(p,x)\}_{P.B.}$$

куда$[ F, G] = F G - G F$и

$$\{ F(p,x), G(p,x) \} = \frac{\partial F}{\partial x} \frac{\partial G}{\partial p} - \frac{\partial G}{\partial x} \frac{\partial F}{\partial p}.$$

Предварительные.

С$[x, p] = i \hbar$, можно показать следующие два равенства:

$$[x, f(p) ] = i \hbar \frac{\partial f}{\partial p}$$

и

$$[p , g(x) ] = - i \hbar \frac{\partial g}{\partial x}.$$

Я думаю, что это почти обязательно для каждого курса QM, поэтому я пропущу этот вывод. В любом случае стандартный путь состоит в том, чтобы рассмотреть коммутатор x с возрастающими степенями p; затем используйте индукцию при разработке$f(p)$как ряд Тейлора.

Более показательным примером является следующий:

$$[x^{2} , f(p) ] = [x ,f(p) ] x + x [x, f(p)] \\ = i \hbar f'(p)\, x + i \hbar x \, f'(p) = 2 i\hbar x f'(p) - i\hbar [x , f'(p)]\\ = 2 i \hbar x f'(p) - (i \hbar)^{2} f''(p)$$

где я ввел довольно полезную нотацию$f'(p) = d f /dp$.

К настоящему времени вы можете видеть, что удовольствие заключается в произвольных степенях$x$. Вы должны более или менее уметь угадывать результат и доказывать его по индукции.

Лемма.

$$[x^{n} , f(p) ] = \sum_{j=1}^{n} (-)^{j+1} \binom{n}{k} \, (i \hbar)^{j} x^{n-j} \, f^{(j)}(p)$$

Доказательство: вы делаете это. Используйте индукцию. Он должен быть более или менее прямолинейным. Кстати,$\binom{n}{k}$обозначает биномиальный коэффициент .

Момент истины.

Предыдущий аргумент можно использовать для включения аналитической функции$x$. Учитывать

$$[ g(x) , f(p)] = \Biggl[ \, \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} g^{(k)} (0) x^{k}, \, f(p) \Biggr] = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} g^{(k)} (0) \Biggl[ x^{k}, f(p) \Biggr] \\ = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} g^{(k)} (0) \sum_{j=1}^{k} (-)^{j+1} C^{k}_{j} \, (i \hbar)^{j} x^{k-j} \, f^{(j)}(p) \\ = \sum_{j=1}^{\infty} (-)^{j+1} \, (i \hbar)^{j} g^{(j)}(x) \, f^{(j)}(p).$$

Хитрость в четвертом равенстве заключается в том, чтобы поменять местами суммы (а затем разложить$C^{k}_{j}$... все подходит).

Интересно отметить, что двойные суммы слились в одну. Это каким-то образом имеет смысл с точки зрения размерного анализа, степени x и p уменьшаются вместе, так что$\hbar$появляется.

Заключительная часть — самый тонкий момент. Генерал$f(x,p)$сложно, потому что$x$и$p$не ездить на работу. Так что у вас были бы проблемы с "отшельничностью" и упорядоченностью. я выберу каждый$p$быть левым из всех$x$. Как только это будет согласовано, генерал$F(p,x)$можно записать как

$$F(p, x) = \sum_{n=0}^{\infty} \alpha_{n} (p) \,\, f_{n} (x).$$

Теперь мы можем вычислить

$$\Biggl[ F(p,x) , G(p,x) \Biggr] = \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{m=0}^{\infty} \Biggl[ \alpha_{n} (p) \,\,f_{n} (x), \, \beta_{m} (p) \, \, g_{m} (x) \Biggr] \\ = \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{m=0}^{\infty} \alpha_{n} (p) \biggl[ \, f_{n} (x) , \beta_{m} ( p) \biggr] g_{m} (x) + \beta_{m} (p) \, \biggl[ \, \alpha_{n} ( p) , g_{m} (x) \biggr] \, f_{n} (x) \\ = \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{m=0}^{\infty} \, \alpha_{n} (p) \, \biggl( \sum_{j=1}^{\infty} (-)^{j+1} \, (i \hbar)^{j} f^{(j)}_{n} (x) \, \beta^{(j)}_{m} (p) \biggr) \, g_{m} (x) + \beta_{m} (p) \biggl( \sum_{j=1}^{\infty} (-)^{j} \, (i \hbar)^{j} g^{(j)}_{m}(x) \, \alpha^{(j)}_{n}(p) \biggr) \, f_{n} (x)$$

специально используя

$$\sum_{n=0}^{\infty} \alpha_{n} (p) \, f_{n}^{(j)} (x) = \frac{\partial^{j}}{\partial x^{j}} \biggl( \sum_{n=0}^{\infty} \alpha_{n} (p) \, f_{n} (x) \biggr) = \frac{\partial^{j}}{\partial x^{j}} F(p,x)$$

вы видите, что получили желаемый результат (после изменения суммирования):

$$\Biggl[ F(p,x), G(p,x) \Biggr] = \sum_{j=1}^{\infty} (-)^{j} \frac{(i \hbar)^{j}}{j!} \Biggl( \frac{\partial^{j} G}{\partial x^{j}} \frac{\partial^{j} F}{\partial p^{j}} - \frac{\partial^{j} F}{\partial x^{j}} \frac{\partial^{j} G}{\partial p^{j}} \Biggr)$$

потому что вы видите, что после деления на (i \hbar) выживает только первый член. Это дает вам скобку Пуассона. Я не делал никаких сложных вычислений, потому что они длинные. Это более-менее убедительно.

Позвольте мне изменить логику скобки Мойала, которую @ACuriousMind аккуратно обсудил, посетив воображаемую планету, где люди каким-то образом независимо друг от друга открыли классическую механику и квантовую механику ; но страдал ужасным умственным блоком, который поначалу мешал им понять, что между ними существует связь.

Затем однажды их Грёневальд заметил, что, начиная с КМ, где заглавные буквы обозначают КМ-операторы,$[P,Q]=PQ-QP=-i\hbar,\,$и т. д., а строчные буквы обозначают классические объекты фазового пространства, он мог взять любую операторную функцию P и Q , Φ и упаковать все ее матричные элементы в следующую производящую функцию c-числа,

$$f(q,p)= 2 \int_{-\infty}^\infty \text{d}y~e^{-2ipy/\hbar}~ \langle q+y| \Phi (Q,P) |q-y \rangle,$$ (то, что мы узнали бы здесь как нашу карту Вигнера для фазового пространства на нашей планете), то есть, так сказать, полностью заданную совокупностью ее матричных элементов, $$\langle x| \Phi |y \rangle = \int_{-\infty}^\infty {\text{d}p\over h} ~e^{ip(x-y)/\hbar}~ f\left({x+y\over2},p\right) .$$ Таким образом, он обнаружил, что оператор Φ на самом деле может быть извлечен из обращения вышеизложенного, поэтому он является оператором, функциональным от квантовой функции c-числа f(q,p) , которая, конечно, также зависит от$\hbar$, в общем, $$\Phi [f] = \frac{1}{(2\pi)^2}\iint\!\!\! \iint f(q,p) ~e^{i(a(Q-q) +b(P-p))}~ \text{d}q\, \text{d}p\, \text{d}a\, \text{d}b.$$

Обратите внимание, как эта форма выражает Φ(Q,P) с ее сложным и капризным упорядочением последовательностей Q s и P s теперь в форме, где Q s и P полностью симметричны (экспонента представляет собой формальный бесконечный степенной ряд, развитие которого ).

(На нашей планете эта обратная карта называется картой Вейля и была открыта первой в ошибочной попытке начать с классических величин f(q,p) и каким-то волшебным образом! привести к их квантовым корреспондентам, которые знают о$\hbar$, так что больше информации появляется из воздуха, но это неважно. Тем не менее Кубо был тем, кто оценил эту процедуру автоматически упорядочивающую по Вейлю произвольные операторы, т. е. получающую равные операторы в этом особом порядке, в целом выглядящем по-другому.)

Более того, это отображение Вигнера отображает коммутаторы операторов гильбертова пространства$[\Phi,\Gamma]/(i\hbar)$к тому, что мы называем скобкой Мойал,

$$\frac{2}{\hbar} ~ f(x,p)\ \sin \left ( {{\tfrac{\hbar }{2}}(\overleftarrow{\partial}_x \overrightarrow{\partial}_{p}-\overleftarrow{\partial}_{p}\overrightarrow{\partial }_{x}} )\right ) \ g(x,p),$$ где вы отмечаете ведущий термин в ряду Тейлора относительно$\hbar$просто$\{f,g\}$, скобка Пуассона. Следы в гильбертовом пространстве отображаются в интегралы фазового пространства.

(Полное раскрытие: расширение этих движений можно найти в нашей брошюре «Краткий трактат о квантовой механике в фазовом пространстве » Куртрайта, Фэрли и Захоса, WS 2014, см. онлайн-обновление или в большинстве других популярных текстов по этому вопросу.) До сих пор абсолютно никакой физики или понимания: благодаря техническому изменению языка простая КМ была просто перевыражена в фазовом пространстве с-числа.

Теперь, однако, наш тральфмадорец Грёневальд, должно быть, был действительно очень доволен, поскольку он также знал, что это находится в рамках классической механики, поэтому он мог обсуждать и КМ, и классическую механику на одном дыхании. Затем он мог заметить, что большинство «больших», макроскопических систем и объектов, включающих большие квантовые числа и большие действия по сравнению с$\hbar$, ведут себя как классические c-числовые функции фазового пространства, известные из классической механики (с поправкой на$\hbar$-пух, игнорируемый для очень маленьких$\hbar$), скобка Мойала для медленно меняющихся функций (в масштабе$\hbar$опять же, где правило волнистости и интерференции), перешел к скобкам Пуассона и т. д. Он, должно быть, был вне себя от обнаруженного им эмерджентного предела классической механики .

Таким образом, несмотря на то, что f , g и т. д. зависят от$\hbar$, как полные квантовые объекты, те, которые имеют невырожденный предел как$\hbar\to 0$свести к аккуратной инженерной физике (лаборатория для первокурсников) величины, свободные от разочаровывающих сложностей квантовой механики. О, дорогой: переменные эффективно коммутативны, когда вы жертвуете (квантовой) информацией... Внезапно разговор о траекториях вообще может иметь смысл! (Но затем хаос и энтропия подняли свои уродливые головы. Но мы отвлеклись.)

Хорошо, это схема эмерджентного классического поведения. Несколько тонкостей заметены под ковер, в том числе макроскопические квантовые системы и т. д., но осторожность побеждает туман$\hbar$, а декогеренция — друг.

Приведенные выше обратимые карты, тем не менее, не имеют ничего общего с квантованием — это просто замены переменных. Но они помогают вам следить за этим, если вы хотите пойти по пути Дирака, отсюда и неправильное название «квантование деформации»: вы притворяетесь, что начинаете с$\hbar$-независимой fs и ПБ и "умело деформировать ее" в МБ, угадывая$\hbar$-корректировка принципов интуитивной красоты. Но таким образом вы никогда не получите правильный квадрат углового момента . Квантование — это искусство, тайна .

---

Удобное редактирование для подключения к антистандартному упорядочению: @OkThen повторяет рецепт антистандартного упорядочения, который использовал Кирквуд 1933 , в уравнении (121) из книги, процитированной выше; Я не мог устоять перед поучительным моментом. Это, конечно, эквивалентно обсуждаемой здесь карте Вигнера-Вейля, как указывают @ACuriousMind и @tparker. Все эти отображения гильбертова пространства в фазовое пространство равны , где согласование с классическими объектами в$O(\hbar^0)$по существу применяется как граничное условие, поэтому отказ от переписки Дирака будет свидетельством ошибки, как подчеркивает @ACuriousMind.

Явно, втыкая лишний множитель$\exp(i\hbar ab/2)$в экспоненту указанного выше Φ преобразует указанное выше ядро ​​оператора в$e^{ib(P-p)} e^{ia(Q-q)}$что дает немного другое Φ' , конечно, обратимо отображаемое на Φ . Соответствующий образ скобки Мойала, как дано, немного менее симметричен,$~f(1-\exp(i\hbar(\overleftarrow{\partial}_x \overrightarrow{\partial}_{p}-\overleftarrow{\partial}_{p}\overrightarrow{\partial }_{x} ))g/i\hbar$, но, конечно, может быть отображено на МБ обратимо, той же картой. На самом деле это было первоначальное тезисное наблюдение Дирака о том, что соответствие q с Q и p с P автоматически дает обсуждаемое граничное условие, поэтому оно не могло нарушиться. Только последующие искатели шаблонных схем квантования неблагоразумно настаивали на применении таких карт для квантования, теперь благополучно исключенных Грёневолдом.

---

Добавлено примечание о появлении Брэкена : В замечательной статье 2003 года Брэкен отмечает, что обратная сторона стандартного соотношения квантования$MB=\frac{2}{\hbar}\sin (\hbar ~PB /2)=PB + O(\hbar^2)$является$PB=\frac{2}{\hbar}\arcsin (\hbar ~MB /2)=MB + O(\hbar^2)$, поэтому эмерджентная классическая механика представляет собой бесконечный асимптотический ряд$\hbar$квантовые поправки к квантовому результату: волшебство здесь заключается в полной отмене всех$\hbar$зависимость, аналогичная деструктивной интерференции квантовых фаз в функциональный интеграл, дающая классический экстремальный результат. Хорошо знать, что это формальная острота, но я никогда не видел, чтобы она использовалась в убедительных нетривиальных расчетах.

Утверждение верно по самому определению квантования, т.е. здесь нечего показывать. Итак, давайте поговорим об определении квантования, которое представляет собой отображение классических наблюдаемых в квантовые наблюдаемые.

Нет карты квантования$f\mapsto \hat{f}$который переводит классические наблюдаемые (функции в фазовом пространстве) в квантовые наблюдаемые (самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве), которые удовлетворяют

1. $$\widehat{\{f,g\}} = \frac{1}{\mathrm{i}\hbar}[\hat{f},\hat{g}]\tag{1}$$ для всех классических наблюдаемых$f,g$.
2. Для всех многочленов$p$,$\widehat{p(f)} = p(\widehat{f})$для всех классических наблюдаемых$f$.
3. Представление алгебры наблюдаемых неприводимо.

Это известно как теорема Грёневольда-ван Хова о непроходимости . Точные технические предположения о карте квантования различаются, но это основные моменты, которые она должна наивно, в «каноническом квантовании», выполнять, но не может.

Чтобы учесть карту квантования, нужно ослабить предположение. Одним из вариантов является квантование деформации , где$(1)$предполагается, что он выдерживает только квантовые поправки порядка$\hbar^2$, и тогда обычной деформацией скобки Пуассона является скобка Мойала $\{\{-,-\}\}$, что согласуется с наивным рецептом канонического квантования скобок координат$x_i,p_j$в качестве

$$\frac{1}{\mathrm{i}\hbar}[\hat{x}_i,\hat{p}_j] = \widehat{\{x_i,p_j\}} = \widehat{\{\{x_i,p_j\}\}}$$ но отклоняется для высших полиномов в$x,p$из скобки Пуассона по порядку$\hbar^2$и выше. Итак, по определению деформационного квантования имеем $$\frac{1}{\mathrm{i}\hbar}[f,g] = \{\{f,g\}\} = \{f,g\} + \mathcal{O}(\hbar^2)$$ где взять$\hbar\to 0$с обеих сторон явно уступает $$\lim_{\hbar\to 0} \frac{1}{\mathrm{i}\hbar}[f,g] = \{f,g\}.$$

---

Если вы хотите начать с квантовой системы с каноническими коммутационными соотношениями$[x_i, p_j] = \mathrm{i}\hbar\delta_{ij}$"не получив его квантованием", то это просто невозможно - вы можете не "получить" его моим квантованием, но тем не менее это то же самое, что и результат стандартного квантования:

По теореме Стоуна-фон Неймана все представления этого коммутационного отношения унитарно эквивалентны. Таким образом, мы всегда можем получить часть квантовой алгебры наблюдаемых, порожденную$x_i,p_j$как деформационное квантование соответствующей классической системы, а равенство между коммутатором и скобкой Пуассона в классическом пределе снова следует непосредственно из определения процедуры квантования.