Есть ли простое выражение для [x,eixp][x,eixp][x,e^{ixp}]?

Я уверен, что это где-то существует, но несколько удивительно, что это не так просто найти в Google.* Коммутаторы

[ Икс , е я ( а Икс 2 + б ( Икс п + п Икс ) + с п 2 ) ]
положения и экспонента квадратичной функции положения и импульса определенно известны до смерти, не в последнюю очередь потому, что теория гауссовских состояний имеет дело с ними все время в виде квадратичных функций квадратур поля.

Меня особенно интересуют функции определенного типа

[ Икс я , е я Икс Дж А Дж к п к ] ,
откуда я это знаю А Дж Дж "=" 0 так что проблем с эрмитичностью нет (суммы Эйнштейна по обоим). Кто-нибудь получил ссылку под рукой?

* Отсюда для потомков этот вопрос. Любые предложения о том, как сделать это более удобным для поиска, приветствуются.

Разве грубая сила расширения Тейлора не сработает? В конце концов, метод всегда состоит в том, чтобы свести к какому-то [ А , Б С ] а затем двигаться Б и С влево и вправо, соответственно, группируя все обратно.

Ответы (1)

Попробуем формулу Бейкера-Кэмпбелла-Хаусдорфа в виде

е Икс Д е − Икс "=" Д + [ Икс , Д ] + 1 2 ! [ Икс , [ Икс , Д ] ] + 1 3 ! [ Икс , [ Икс , [ Икс , Д ] ] ] + . . .
Брать Икс "=" я Икс Дж А Дж к п к и Д "=" Икс я . Это не самый простой случай со времен первого коммутатора,
[ Икс , Д ] "=" [ я Икс Дж А Дж к п к , Икс я ] "=" я Икс Дж А Дж к ( − я дельта к я ) "=" Икс Дж А Дж я
не ездит с Икс "=" я Икс Дж А Дж к п к . Но давайте посмотрим на коммутаторы более высокого порядка:
[ Икс , [ Икс , Д ] ] "=" [ я Икс Дж А Дж к п к , Икс Дж ′ А Дж ′ я ] "=" я Икс Дж А Дж к [ п к , Икс Дж ′ ] А Дж ′ я "=" я Икс Дж А Дж к ( − я дельта к Дж ′ ) А Дж ′ я "=" Икс Дж А Дж к А к я
Сходным образом,
[ Икс , [ Икс , [ Икс , Д ] ] ] "=" Икс Дж А Дж к А к л А л я и т. д.

Возьмем все в формуле BCH:

е я Икс Дж А Дж к п к Икс я е − я Икс Дж А Дж к п к "=" Икс Дж дельта Дж я + Икс Дж А Дж я + 1 2 ! Икс Дж А Дж к А к я + 1 3 ! Икс Дж А Дж к А к л А л я "=" Икс Дж ( е А ) Дж я
или, лучше для нашей цели здесь,
е я Икс Дж А Дж к п к Икс я е − я Икс Дж А Дж к п к "=" Икс я + Икс Дж ( е А − я ) Дж я
Умножить слева на е я Икс Дж А Дж к п к , переставить и получить
[ Икс я , е я Икс Дж А Дж к п к ] "=" Икс Дж ( я − е А ) Дж я е − я Икс л А л к п к

Для коммутатора в заголовке вопроса [ Икс , е я п Икс ] , та же процедура дает гораздо более простую формулу:

е я Икс п Икс е − я Икс п "=" Икс + [ я Икс п , Икс ] + 1 2 ! [ я Икс п , [ я Икс п , Икс ] ] + 1 3 ! [ я Икс п , [ я Икс п , [ я Икс п , Икс ] ] ] + . . . "=" "=" Икс + Икс + 1 2 ! Икс + 1 3 ! Икс + . . . "=" Икс + ( е − 1 ) Икс
и
[ Икс , е я Икс п ] "=" ( 1 − е ) Икс е я Икс п

Есть ли простое выражение для [x,eixp][x,eixp][x,e^{ixp}]?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v