Какая связь между скобками Пуассона и коммутаторами?

Скобки Пуассона играют в классической механике примерно ту же роль, что коммутаторы в квантовой механике. Например, уравнение Гамильтона в классической механике аналогично уравнению Гейзенберга в квантовой механике:

$$\begin{align}\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t} &= \{f,H\} + \frac{\partial f}{\partial t} & \frac{\mathrm{d}\hat f}{\mathrm{d}t} &= -\frac{i}{\hbar}[\hat f,\hat H] + \frac{\partial \hat f}{\partial t}\end{align}$$

куда$H$является гамильтонианом и$f$либо является функцией переменных состояния$q$а также$p$(в классическом уравнении) или оператор, действующий на квантовое состояние$|\psi\rangle$(в квантовом уравнении). Шляпа указывает, что это оператор.

Кроме того, когда вы преобразуете классическую теорию в ее квантовую версию, способ сделать это состоит в том, чтобы переинтерпретировать все переменные как операторы, а затем наложить коммутационное соотношение на фундаментальные операторы:$[\hat q,\hat p] = C$куда$C$является некоторой константой. Чтобы определить значение этой константы, вы можете использовать скобку Пуассона соответствующих величин в классической теории в качестве мотивации по формуле$[\hat q,\hat p] = i\hbar \{q,p\}$. Например, в базовой квантовой механике коммутатор положения и импульса равен$[\hat x,\hat p] = i\hbar$, поскольку в классической механике$\{x,p\} = 1$.

Антикоммутаторы не связаны напрямую со скобками Пуассона, но являются логическим продолжением коммутаторов. В конце концов, если вы можете зафиксировать значение$\hat{A}\hat{B} - \hat{B}\hat{A}$и получить из этого разумную теорию, естественно задаться вопросом, какую теорию вы получите, если зафиксируете значение$\hat{A}\hat{B} + \hat{B}\hat{A}$вместо. Это играет важную роль в квантовой теории поля, где исправление коммутатора дает теорию бозонов, а исправление антикоммутатора дает теорию фермионов.

По теме квантования деформации первые несколько статей в словаре между

$$\text{Quantum Mechanics}\quad\longleftrightarrow\quad\text{Classical Mechanics}\tag{0}$$

читать

$$\text{Operator}\quad\hat{f}\quad\longleftrightarrow\quad\text{Function/Symbol}\quad f,\tag{1}$$

$$\text{Composition}\quad\hat{f}\circ\hat{g} \quad\longleftrightarrow\quad\text{Star product}\quad f\star g ,\tag{2}$$ а также

$$\text{Commutator}\quad [\hat{f},\hat{g}] \quad\longleftrightarrow\quad\text{Poisson bracket}\quad i\hbar\{f,g\}_{PB} + \color{red}{{\cal O}(\hbar^2)}. \tag{3}$$

Обратите внимание, что соответствие (0) зависит от того, какие символы используются, например символы Вейля , и что в общем случае могут быть квантовые поправки более высокого порядка.$\color{red}{{\cal O}(\hbar^2)}$в отождествлении (3).

Пример 1: (Основной CCR )

$$[\hat{q},\hat{p}]~=~i\hbar{\bf 1}\quad\longleftrightarrow\quad \{q,p\}_{PB}~=~1.\tag{4}$$

Пример 2:

$$[\hat{q}^2,\hat{p}^2]~=~4[\hat{q},\hat{p}]~ (\hat{q}\hat{p})_W\quad\longleftrightarrow\quad \{q^2,p^2\}_{PB}~=~4\{q,p\}_{PB} ~qp, \tag{5}$$ куда$(\ldots)_W$означает Вейлевскую симметризацию операторов. См. также, например , этот пост Phys.SE.

Пример 3:

$$[\hat{q}^3,\hat{p}^3]~=~9[\hat{q},\hat{p}]~ (\hat{q}^2\hat{p}^2)_W + \color{red}{\frac{3}{2}[\hat{q},\hat{p}]^3}\quad\longleftrightarrow\quad \{q^3,p^3\}_{PB}~=~9\{q,p\}_{PB}~ q^2p^2.\tag{6}$$ Обратите внимание, что существуют квантовые поправки более высокого порядка$\color{red}{{\cal O}(\hbar^3)}$в уравнении (6) даже после симметризации по Вейлю.

И коммутатор (матриц), и скобка Пуассона удовлетворяют тождеству Якоби,$[A,[B,C]]+[B,[C,A]]+[C,[A,B]]=0$.

Вот почему Дирак был вдохновлен использованием Гейзенбергом коммутаторов для разработки динамического стиля Гамильтона-Якоби в квантовой механике, который обеспечил первое реальное объединение матричной механики Гейзенберга с волновой механикой Шредингера. Тождество Якоби также является основным законом алгебр Ли, которые полезны для групп симметрии в квантовой теории.

В классической механике динамическими переменными являются функции$f$на фазовом пространстве, и они получают нетривиальную алгебраическую структуру из скобки Пуассона. Это классические «наблюдаемые». В квантовой механике наблюдаемые — это матрицы, это динамические переменные, но они получают аналогичную алгебраическую структуру от коммутатора.

Как уже отмечалось, антикоммутатор не аналогичен скобке Пуассона, это совершенно новое квантовое явление, не имеющее классического аналога.

Что касается значения наблюдаемых импульса и положения, между классической и квантовой механикой есть много общего. Были отмечены некоторые алгебраические соотношения.

В конце концов, есть еще важное отличие, очевидное из того, что алгебра функций, порожденная классическими величинами, коммутативна.

$$q·p=p·q,$$ а другой нет $$Q\ P\ne P\ Q=Q\ P-[Q,P\ ].$$ Можно спросить, существует ли структура классической функциональной алгебры $q$а также $p$с продуктом, который напоминает квантово-механическую алгебру $Q$а также $P$. Т.е. есть товар, обозначим его через $\star\ $, для которого $$q\star p-p\star q=[q\ \overset{\star}{,}\ p]\ \ \Longleftrightarrow\ \ [Q,P\ ]=Q\ P-P\ Q.$$

Больше вопросов в этом духе можно найти в разделе «Квантование по Вейлю» .

Наиболее изученным звездным продуктом является продукт Мойала , который по определению удовлетворяет

$$[f\ \overset{\star}{,}\ g]=i\hbar\ \{f,g\}+\mathcal O(\hbar^2).$$

Медали Филдса присуждаются за такие вещи.

Я не знаю никакой связи между скобкой Пуассона и антикоммутатором, но знаю связь между скобкой Пуассона и коммутатором.

$$[\hat a,\hat b]=i\hbar\{a,b\}_\text{Poisson}$$

Тонкости

Как оператор$\hat a$а также$\hat b$являются аналогами классической динамической переменной, они должны быть ① функциями канонических координат и импульсов (исключая спин, который нельзя поместить в скобку Пуассона) ② эрмитовыми операторами (попробуйте$[\hat{x}\hat{p},\hat{p}\hat{x}]$).

Кроме того, знак равенства на самом деле не является равенством, потому что правая часть — это коммутативные числа, а левая — некоммутативные операторы, поэтому вы должны быть осторожны, связывая две стороны. Например, квантовая аналогия$xp$ни то, ни другое$\hat{x}\hat{p}$или же$\hat{p}\hat{x}$, но$\frac{1}{2}\left(\hat{p}\hat{x}+\hat{x}\hat{p}\right)$.