Оператор перевода и основа позиции

Вот самый логичный способ продолжить, если вы спросите меня. Учитывая любой$a\in\mathbb R$, мы определяем оператор перевода$T_a$своим действием на базисные векторы положения

$$T_a|x\rangle = |x + a\rangle$$ Можно доказать следующие свойства:

1. $T_a$является унитарным для каждого$a\in\mathbb R$.

2. $T_aT_b = T_{a+b}$для всех$a,b\in\mathbb R$.

Отсюда следует (по теореме Стоуна с точностью до некоторых математических подробностей), что существует эрмитов оператор$K$для которого

$$T_a = e^{-iaK}$$ Оператор $K$чье существование гарантируется таким образом, называется бесконечно малым генератором трансляций. Далее мы хотим показать, что $K$и $X$имеют определенные коммутационные соотношения. Для этого отметим следующий факт (см. здесь ) $$T_aXT_{-a} = e^{-iaK}Xe^{+iaK} = X - ia[K, X] + \mathcal O(a^2)$$ Теперь действуя обеими сторонами на собственный вектор положения $|x\rangle$дает $$(x-a)|x\rangle = (x-ia[K,X])|x\rangle + \mathcal O(a^2)$$ и приравнивая члены одного порядка в $a$дает $$[X,K] = iI$$ по желанию.

Вывод Сакураи ни в коем случае не является математически строгим, поэтому вы должны ожидать чего-то вроде вашего рассуждения о скалярном произведении. Действительно, у нас все более-менее хорошо, пока

$$[x,\mathcal{T}(\epsilon)]|z\rangle=\epsilon|z+\epsilon\rangle$$ где мы хотим заменить $|z+\epsilon\rangle$к $|z\rangle$и утверждают, что это нормально в первом порядке в $\epsilon$. Поскольку собственные состояния положения ненормализуемы, в наших рассуждениях о порядках нет меры «малости». Однако имеет смысл вывести $[x,\mathcal{T}(\epsilon)]=\epsilon\mathcal{T}(\epsilon)$, что верно для любого конечного $\epsilon$. Здесь причина, по которой все работает хорошо, заключается в том, что $\mathcal{T}$является хорошим ограниченным (= непрерывным) оператором, который определен на всем гильбертовом пространстве состояний и легко понимается даже на таких обобщенных векторах, как $|x\rangle$. На самом деле, если вы работаете в координатном представлении, вы можете вывести этот коммутатор, работающий только с нормируемыми волновыми функциями, на которые действует $x$определено (они остаются нормализуемыми после этого действия), придавая полностью строгий математический смысл вашим вычислениям.

Что отличается, когда вы пытаетесь справиться с Сакурай?$K$(что вы пытаетесь сделать каждый раз, когда говорите о бесконечно малых переводах) строго, заключается в том, что это плохой (неограниченный, прерывистый) оператор. Действительно, в некотором смысле

$$K=i\left.\frac{d}{d\epsilon}\mathcal{T}(\epsilon)\right|_{\epsilon=0}.$$ Но единственный способ придать смысл этой формуле — определить действие $K$по штатам: $$K|\psi\rangle=i\lim_{\epsilon\to0}\frac{\mathcal{T}(\epsilon)|\psi\rangle-|\psi\rangle}{\epsilon}$$ Но этот предел существует только для определенных хороших состояний, которые, как мы говорим, находятся в области $K$. На самом деле, если вы посмотрите на $K$в координатной репутации это просто $-i\frac{d}{dx}$, определенное на (всюду плотном) подпространстве дифференцируемых функций пространства $L_2$функций, интегрируемых с квадратом. Когда вы имеете дело с $K$строго, вы должны ограничить себя областью $K$(например, если вы рассматриваете ответ Джоша Физики, где каждая формула с $K$ограничено доменом, это почти строгое доказательство).

Однако по какой-то причине, наверняка связанной с тем, что домен$D(K)$из$K$везде плотно — любое состояние можно аппроксимировать состоянием из$D(K)$с любой желаемой точностью работает небрежное обращение, как у Сакурая.