Помогите упростить уравнение коммутатора

Question

Помогите упростить уравнение коммутатора

янкифан11

Для SHO наш учитель сказал нам масштабировать

п \to \sqrt{м ю ℏ} п

$p\rightarrow \sqrt{m\omega\hbar} ~p$

Икс \to \sqrt{\frac{ℏ}{м ю}} Икс

$x\rightarrow \sqrt{\frac{\hbar}{m\omega}}~x$ И затем определить следующее

К_{1} "=" \frac{1}{4} (п^{2} - д^{2})

$K_1=\frac 14 (p^2-q^2)$

К_{2} "=" \frac{1}{4} (п д + д п)

$K_2=\frac 14 (pq+qp)$

{Дж}_{3} "=" \frac{ЧАС}{2 ℏ ю} "=" \frac{1}{4} (п^{2} + д^{2})

$J_3=\frac{H}{2\hbar\omega}=\frac 14(p^2+q^2)$ Первая часть должна показать, что

Вопрос \equiv - К_{1}^{2} - К_{2}^{2} + {Дж}_{3}^{2}

$Q \equiv -K_1^2-K_2^2+J_3^2$ ЕСТЬ число. Мой подход:

16 Вопрос "=" {Дж}_{3}^{2} - К_{1}^{2} - К_{2}^{2} "=" (п^{2} + д^{2})^{2} - (п^{2} - д^{2})^{2} - (п д + д п)^{2}

$16Q=J_3^2-K_1^2-K_2^2=(p^2+q^2)^2-(p^2-q^2)^2-(pq+qp)^2$

"=" п^{4} + д^{4} + п^{2} д^{2} + д^{2} п^{2} - (п^{4} + д^{4} - п^{2} д^{2} - д^{2} п^{2}) - ((п д)^{2} + (д п)^{2} + п д д п + д п д п)

$=p^4+q^4+p^2q^2+q^2p^2-(p^4+q^4-p^2q^2-q^2p^2)-((pq)^2+(qp)^2+pqqp+qpqp)$

"=" 2 п^{2} д^{2} + 2 д^{2} п^{2} - п д п д - д п д п - п д д п - д п п д

$=2p^2q^2+2q^2p^2-pqpq-qpqp-pqqp-qppq$ По крайней мере, я не уверен, как еще упростить. Многие из них выглядят как антикоммутаторы, которые не дают никакой полезной информации для превращения Q в число. Любая помощь будет оценена по достоинству!

РЕДАКТИРОВАТЬ::

Вот как далеко я продвинулся.
введите описание изображения здесь

джошфизика

В качестве терминологического примечания (потому что я помню, что меня это смутило), то, что означает «Q — это число», означает, что «Q — это число, умноженное на оператор идентичности».

Жирарди

Вы должны публиковать вопросы, а не темы... Это сайт вопросов и ответов, а не форум.

Qмеханик

Подсказка к примечаниям (v3): если начать с

p^{2} q^{2}

$p^2q^2$ (и другие его порядки), а сократить через CCR можно только условия

p^{2} q^{2}

$p^2q^2$ ,

i ℏ p q

$i\hbar pq$ , и

ℏ^{2}

$\hbar^2$ (и другие их заказы). положить

ℏ = 1

$\hbar=1$ , можно потенциально получить термин

(p q)^{2}

$(pq)^2$ , но никогда не получить срок

i (p q)^{2}

$i(pq)^2$ как у вас в заметках.

янкифан11

Я переделал это, заметив, что я случайно неправильно указал i(pq)^2. Я все еще получаю термин оператора, который не является номером ac

янкифан11

Хорошо. Я думаю, что решил это. Вы тоже делали это и обнаружили, что это приводит к -1?

Ответы (1)

Помогите упростить уравнение коммутатора

В качестве терминологического примечания (потому что я помню, что меня это смутило), то, что означает «Q — это число», означает, что «Q — это число, умноженное на оператор идентичности».
Вы должны публиковать вопросы, а не темы... Это сайт вопросов и ответов, а не форум.
Подсказка к примечаниям (v3): если начать с $p^2q^2$ (и другие его порядки), а сократить через CCR можно только условия $p^2q^2$ , $i\hbar pq$ , и $\hbar^2$ (и другие их заказы). положить $\hbar=1$ , можно потенциально получить термин $(pq)^2$ , но никогда не получить срок $i(pq)^2$ как у вас в заметках.
Я переделал это, заметив, что я случайно неправильно указал i(pq)^2. Я все еще получаю термин оператора, который не является номером ac
Хорошо. Я думаю, что решил это. Вы тоже делали это и обнаружили, что это приводит к -1?

Qмеханик · Answer 1

Намекать: $pq$ -заказ $^1$ твое последнее выражение

2 (п^{2} д^{2} + д^{2} п^{2}) - (п д + д п)^{2} .

$2(p^2q^2+q^2p^2)-(pq+qp)^2.$

p q

$pq$ -заказ означает коммутировать все

p

$p$ слева и все

q

$q$ вправо с помощью

^{2}

$^2$ формула CCR _

q p = p q + i ℏ 1

$qp = pq +i\hbar{\bf 1}$ , возможно неоднократно. (Есть более короткие пути, но

p q

$pq$ -упорядочивание - это по крайней мере системный подход.) То, что останется, будет

c

$c$ -число. На самом деле результат такой

- 3 ℏ^{2} 1

$-3\hbar^2{\bf 1}$ .

--

$^1$ Или, альтернативно, $qp$ -заказать последнее выражение.

$^2$ Вот пример $pq$ -порядок заказа: $qp^n = p^nq +i\hbar n p^{n-1}$ .

Не совсем уверен, что вы имеете в виду
Да, это пример поездки на работу $p$ Слева. Каждый раз, когда вы видите продукт $qp$ в вашей последней формуле подставьте в правой части этого уравнения вместо $qp$ .
Так что насчет случая qpqp, будет ли это идти к (pq+[q,p])(pq+[q,p])
Да, и тогда у вас будет 1 c-число, два двухоператорных терма со всеми $p$ слева и $q$ справа, но тогда у вас будет четырехчленный оператор, который не $pq$ заказал. Вам нужно будет сделать замену еще раз, чтобы переместить последний $p$ сквозь $q$ .
У меня также есть термин p^2 q^2, как он превращается в число ac?
кроме того, может ли это быть мнимым числом?>
Я прохожу очень осторожно и в итоге получаю 2pqqp-2+1
@yankeefan11: Это становится $c$ -число. Попробуйте еще раз.
Добавил фото своей математики. Вы видите какие-либо ошибки в знаках минус или что-то в этом роде?

Помогите упростить уравнение коммутатора

янкифан11

джошфизика

Жирарди

Qмеханик

янкифан11

янкифан11

Ответы (1)

Qмеханик

янкифан11

янкифан11

Брайан Мотс

янкифан11

Брайан Мотс

янкифан11

янкифан11

янкифан11

Qмеханик

янкифан11

Коммутатор положения и импульса

Коммутатор с квадратным корнем

Докажите, что [A,Bn]=nBn−1[A,B][A,Bn]=nBn−1[A,B][A,B^n] = nB^{n-1}[A,B]

Квантовый коммутатор

Коммутация оператора углового момента [закрыто]

Как получить я \ hbar \ гидроразрыва {\ парциальное F (\ vec p)} {\ парциальное p_i}

Фундаментальные коммутационные соотношения в квантовой механике

Коммутаторы с функциями

Отличие антикоммутатора [закрыто]

Докажите: AAA и BBB коммутируют, поэтому функции f(A)f(A)f(A) и g(B)g(B)g(B) всегда будут коммутировать друг с другом [закрыто]