Действие Полякова: метрика, индуцированная разностью, и динамическая метрика

Question

Действие Полякова: метрика, индуцированная разностью, и динамическая метрика

Funzies

Действие Полякова задается:

С_{п} "=" - \frac{Т}{2} \int д^{2} о \sqrt{- г} г^{α β} \partial_{α} {Икс}^{мю} \partial_{β} {Икс}^{ν} η_{мю ν} "=" - \frac{Т}{2} \int д^{2} о \sqrt{- г} г^{α β} γ_{α β},

$S_p ~=~ -\frac{T}{2}\int d^2\sigma \sqrt{-g}g^{\alpha\beta}\partial_{\alpha}X^{\mu}\partial_{\beta}X^{\nu}\eta_{\mu\nu} ~=~ -\frac{T}{2}\int d^2\sigma \sqrt{-g}g^{\alpha\beta}\gamma_{\alpha\beta},$ где

γ_{α β}

$\gamma_{\alpha\beta}$ называется индуцированной метрикой и

g_{α β}

$g_{\alpha\beta}$ динамическая метрика на мировом листе. Мне трудно понять разницу между этими двумя показателями. Я знаю, что последнее введено для того, чтобы иметь возможность удалить квадратный корень в действии Намбу-Гото, но я не знаю, что оно означает. Пространство, в котором распространяется струна, имеет только метрику Минковского

η_{μ ν}

$\eta_{\mu\nu}$ , Если я не ошибаюсь. Кроме того, я думаю, что индуцированная метрика получается путем требования

$ds^2$ (все пространство) = $\eta_{\mu\nu}dx^{\mu}dx^{\nu}$ "=" $ds^2$ (мировой лист) = $\gamma_{\alpha\beta}d\sigma^{\alpha}d\sigma^{\beta}$

Это верно? Я действительно смущен всеми этими различными показателями.

Qмеханик

Связанные: физика.stackexchange.com /q/17349/2451 , физика.stackexchange.com /q/77038/2451

Ответы (3)

Действие Полякова: метрика, индуцированная разностью, и динамическая метрика

Связанные: физика.stackexchange.com /q/17349/2451 , физика.stackexchange.com /q/77038/2451

джошфизика · Answer 1

Есть два многообразия, которые участвуют в распространении струны.

Пространство-время, в котором распространяется струна.
Мировой лист самой строки.

Поля $X^\mu$ встраивают координаты мирового листа в пространственно-временное многообразие. Это означает, что для каждой точки $(\sigma^1, \sigma^1)$ на мировом листе, $X^\mu(\sigma^1, \sigma^2)$ дает координаты этой точки в пространственно-временном многообразии.

В случае, который вы рассматриваете, пространство-время считается Минковским, поэтому метрика $\eta_{\mu\nu}$ . Теперь мы могли спросить

«Учитывая, что мировой лист представляет собой двумерное вложенное подмногообразие пространства Минковского, есть ли способ, которым это многообразие наследует свою метрику от метрики окружающего пространства-времени?»

Этот вопрос аналогичен

«Ввиду того, что сфера $S^2$ некоторое двумерное вложенное подмногообразие евклидова пространства $\mathbb R^3$ , есть ли какой-то естественный смысл, в котором он наследует свою метрику от $\mathbb R^3$ ?

Ответ на оба эти вопроса положительный, и метрика на подмногообразии, которая делает это, является в точности индуцированной метрикой. Формула, выражающая индуцированную метрику двумерного подмногообразия некоторого объемлющего многообразия с метрикой $g_{\mu\nu}$ (не обязательно плоской) с точки зрения координат вложения

γ_{а б} (о) "=" г_{мю ν} (Икс (о)) \partial_{а} {Икс}^{мю} (о) \partial_{б} {Икс}^{ν} (о), о "=" (о^{2}, о^{2})

$\gamma_{ab}(\sigma) = g_{\mu\nu}(X(\sigma))\partial_aX^\mu(\sigma)\partial_b X^\nu(\sigma), \qquad \sigma = (\sigma^2, \sigma^2)$ Вы правы в отношении вывода индуцированной метрики, она исходит из требования, чтобы расстояние, измеренное между точками на встроенном подмногообразии, вычислялось как одно и то же число, независимо от того, используете ли вы объемлющую метрику или индуцированную метрику. Чтобы увидеть, что приведенное выше выражение для индуцированной метрики делает это, просто заметьте, что бесконечно малое расстояние между любыми двумя точками на вложенном подмногообразии может быть записано в терминах объемлющей метрики и координат вложения как

\begin{aligned} г_{мю ν} (Икс (о)) д ({Икс}^{мю} (о)) д ({Икс}^{ν} (о)) & "=" г_{мю ν} (Икс (о)) \partial_{а} {Икс}^{мю} (о) \partial_{б} {Икс}^{ν} (о) д о^{а} д о^{б} \\ "=" γ_{а б} (о) д о^{а} д о^{б} \end{aligned}

$\begin{align} g_{\mu\nu}(X(\sigma))d(X^\mu(\sigma))d(X^\nu(\sigma)) &= g_{\mu\nu}(X(\sigma))\partial_a X^\mu(\sigma)\partial_bX^\nu(\sigma)d\sigma^ad\sigma^b \\ &= \gamma_{a b}(\sigma)d\sigma^ad\sigma^b \end{align}$ Чтобы получить некоторое представление обо всем этом, вспомните это выражение для вложения координат

S^{2}

$S^2$ в

R^{3}

$\mathbb R^3$ является

\begin{aligned} Икс (θ, ф) & "=" грех θ потому что ф \\ Д (θ, ф) & "=" грех θ грех ф \\ Z (θ, ф) & "=" потому что θ \end{aligned}

$\begin{align} X(\theta, \phi) &= \sin\theta\cos\phi\\ Y(\theta, \phi) &= \sin\theta\sin\phi\\ Z(\theta, \phi) &= \cos\theta \end{align}$ и используя эти вложения, вы сможете показать, что метрика на сфере просто

γ_{а б} (θ, ф) "=" д я а г (1, {грех}^{2} θ)

$\gamma_{ab}(\theta, \phi) = \mathrm{diag}(1, \sin^2\theta)$

Дайте мне знать, если это неясно или вам нужна дополнительная информация!

Спасибо за это подробное объяснение, индуцированная метрика теперь мне полностью ясна. Не могли бы вы подробнее рассказать о динамической метрике? $g_{\alpha\beta}$ , который также определен на мировом листе строк?
Хм, а какую разработку вы ищете? Это правда, что динамическая метрика определена на мировом листе, поскольку она определена во всем окружающем пространстве...
Ну, это динамическая метрика, у которой есть уравнение движения, которое можно рассчитать, варьируя действие. Но на самом деле метрика — это способ измерения расстояний в пространстве-времени, так как же она может быть динамичной и иметь разные значения?
@joshphysics: Являются ли целевая метрика искривленного многообразия и его индуцированная метрика функциональными? Является ли пространство вложений конечномерным дифференцируемым многообразием? Категория гладких многообразий не является декартовой замкнутой категорией ( en.wikipedia.org/wiki/Cartesian_closed_category ). Таким образом, целевым пространством теории струн должно быть так называемое обобщенное гладкое пространство с римановой структурой. См. также physicsforums.com/threads/… .

Лайонелбритс · Answer 2

Хочу добавить, что геометрическая картина и взаимосвязь между действиями Намбу-Гото и Полякова являются лишь намеками и эвристикой. В частности, амплитуды рассеяния струн вычисляются в лоренцевом пространстве, но мировые листы являются евклидовыми. Один из способов увидеть это состоит в том, что изменения топологии не учитывают причинно-следственную связь, поэтому ветвящиеся мировые листы проблематичны для евклидова мирового листа. Было бы здорово, если бы теоретик струн мог уточнить.

пользователь62602 · Answer 3

Правильно, есть следующее уравнение:

{Икс}^{мю} "=" Z^{мю} (о)) (д {Икс}^{мю} "=" \partial_{а} Z^{мю} (о) д о^{а})

$X^{\mu}=Z^{\mu}(\sigma)) (dX^{\mu}=\partial_{a}Z^{\mu}(\sigma)d\sigma^{a})$

для двумерной поверхности, вложенной, скажем, в плоское конечномерное целевое пространство внутри действия Полякова и Намбу-Гото. Основная/единственная «причина», почему люди (в основном теоретики КТП, которые хотели бы называть себя и называться другими «теоретиками струн») используют действие Полякова (в основном для бессодержательных вычислений), заключается в том, что оно имеет квадратичную форму ( ну и что) и поэтому у них есть огромная надежда, что это гораздо проще, чем действие Намбу-Гото, быть "квантованным" (что бы это слово ни значило для вас, потому что они "могли видеть" вышеупомянутые строковые координаты Z^{\mu }(\sigma) как "скалярные поля" (так называемые "координаты бозоновой струны") над двумерной поверхностью с координатами \sigma^{a}).

Если квантовая механика (частиц) является двухуровневой квантовой теорией:

http://www.springer.com/philosophy/book/978-0-7923-3565-8

т.е. 1d КТП, тогда квантовая (супер)струнная кинематика должна быть трехуровневой квантовой теорией:

http://www.math.harvard.edu/~lurie/papers/cobordism.pdf

которая может быть не только 2d (супер) конформной КТП (она должна быть намного богаче). Кстати говоря, "можно было бы показать", что упомянутая выше индуцированная метрика и метрика мирового листа после "стандартной процедуры квантования" связаны "таким же образом", как и в классическом (не квантовом) случае, только если целевое плоское пространство 26-мерное.

Поэтому:

Альберт Эйнштейн: «Мы не можем решать проблемы, используя тот же тип мышления, который мы использовали, когда создавали их».

уважаемые "лионельбриты", струнный теоретик не стал уточнять вышеизложенное.

Таким образом, вышеупомянутые действия (Полякова и Намбу-Гото) не могли быть отправной точкой для квантовых струн любого рода, но вы, геи, должны что-то сделать с этим плохим делом в нынешних попытках математизации фундаментальных законов природы.

Действие Полякова: метрика, индуцированная разностью, и динамическая метрика

Funzies

Qмеханик

Ответы (3)

джошфизика

Funzies

джошфизика

Funzies

пользователь62480

Лайонелбритс

пользователь62602

акция Полякова

Вопрос об изменении метрики при Вейле и преобразованиях координат

Является ли метрика целевого пространства динамическим полем в действии Полякова?

Геодезическая кривизна и преобразования Вейля

Площадь в Минковском пространстве-времени

Диффеоморфизм и преобразования Вейля на двумерном мировом листе теории струн и существование конформной калибровки

Топологические проблемы с лоренцевской метрикой на мировом листе

Уравнения движения действия с дифференциальными формами/звезда Ходжа

Преобразование акции Полякова в акцию Намбо-Гото?

Зачем нам нужна метрика для определения градиента?