В теории струн мы изучаем отображения , где является двумерным мировым листом струны и является целевым многообразием. При изучении нелинейных сигма-моделей, например, когда мы рассматриваем действие Полякова для теории струн, часто снабжается двумерной метрикой Минковского.
Однако с топологической точки зрения хорошо известно, что (компактное) многообразие допускает лоренцеву метрику тогда и только тогда, когда эйлерова характеристика обращается в нуль. Это должно означать, что мы можем взять метрику только на быть метрикой Минковского для мировых листов рода 1. Что мы делаем с мировыми листами других родов?
(Если ответ звучит примерно так: «Поверните фитиль, чтобы у вас была риманова подпись», тогда мой вопрос: «Почему это разумно?»)
В теории струн обычно считается, что мировой лист состоит из набора входящие строки, которые распространились «из бесконечности» и исходящие строки, которые будут распространяться «до бесконечности». Результирующий мировой лист , на каждом уровне теории возмущений будет гомеоморфным роду поверхность с проколы, которые некомпактны. Простейшим примером является мировой лист свободной струны, который гомеоморфен 2-сфере с двумя проколами (т. е. цилиндру). Поскольку эта поверхность некомпактна, ваша теорема неприменима, и вы в безопасности!
Надеюсь, это помогло!
пользователь4552