акция Полякова

Ключевым моментом здесь является различение двух разных многообразий. У нас есть$M$воспринимается как пространство-время, и внутри этого многообразия$M$, мы представляем себе струну, распространяющуюся заметающую поверхность$\Sigma \subset M$.

Встраивание функций$\Sigma$являются$X^\mu(\tau,\sigma)$которые несут$\mu$индекс в пространстве-времени, но являются функциями координат, определенных для$\Sigma$рассматривается как самостоятельный многообразие.

Действие Полякова состоит в том,

$$S \sim \int d^2 \sigma \, \sqrt{-h}\, h^{ab} g_{\mu\nu}\partial_a X^\mu \partial_b X^\nu$$

где$h_{ab}$- индуцированная метрика на поверхности$\Sigma$, и$g_{\mu\nu}$является метрикой$M$, поэтому заключил контракт с$X^\mu$и$X^\nu$которые несут индексы пространства-времени.

Таким образом, если у меня есть какой-то объект, скажем$P^a$который содержит индекс мирового листа$a$, понижать$a$на$P^a$, можно было бы использовать метрику на$\Sigma$и поэтому$P_a = h_{ab}P^b$. Так же,$M$индексы поднимаются и опускаются с$g_{\mu\nu}$.

---

Тонкость

Теперь вы можете подумать, что если мы делаем какую-либо операцию, которая несет пространственно-временной индекс, то мы делаем это по отношению к многообразию.$M$, но это не обязательно так.

Например, предположим, что у нас есть подмногообразие$\Sigma \subset M$встроенный в$M$. Мы можем определить ковариантную производную,$\nabla_\mu$что, как вы могли бы подумать, означает обычное ковариантное дифференцирование относительно$g_{\mu\nu}$.

Однако это не обязательно так. В общем,$\Sigma$наследует две по существу эквивалентные метрики от$M$, индуцированная метрика$\gamma_{ab}$обычно вычисляется из вложения и первой фундаментальной формы,$^\dagger$

$$h_{\mu\nu} = g_{\mu\nu} \pm n_\mu n_\nu$$

что является своего рода проекцией метрики на$M$; здесь$n_\mu$нормальный вектор. Таким образом,$\nabla_\mu$может означать ковариантное дифференцирование на$\Sigma$даже несмотря на то, что он несет пространственно-временной индекс, если$h_{\mu\nu}$.

Обычно подобные двусмысленности проясняются в большинстве источников, и многие механизмы дифференциальной геометрии подмногообразий не нужны во вводных текстах по теории струн.

---

$\dagger$Здесь$h_{\mu\nu}$не следует путать с$h_{ab}$. я выбрал$h$просто потому, что первая фундаментальная форма обычно всегда называется$h$. Примечание$\gamma_{ab}$вот та же метрика, которая появляется в действии Намбу-Гото.

Действительно, есть две метрики, и будет два набора индексов, связанных с тензорами на мировом листе: один для мирового листа и один для целевого пространства. Например,$X^{\mu}(\tau, \sigma)$не содержит индексов мировых листов, но содержит индекс целевого пространства$\mu$, поэтому следует опускать или повышать$\mu$по метрике целевого пространства. С другой стороны,$\partial_aX^{\mu}$несет оба индекса целевого пространства$\mu$, и индекс мирового листа$a$. Так что надо понизить/повысить$a$по метрике мирового листа и понизить/поднять$\mu$по метрике целевого пространства.

Можно также сказать это на языке тензоров, являющихся мутилинейными картами, но я не уверен, что это будет более полезно для этого вопроса.