Преобразование акции Полякова в акцию Намбо-Гото?

Лучший вывод принадлежит Полякову и содержится в длинной главе о цепочках «Калибровочные поля и струны».

Ключевым моментом является то, что h-поле в интеграле по путям интегрируется, но не имеет производных членов, поэтому флуктуации h-поля просто заменяют его в каждой точке его стационарным значением. X-части просто участвуют в поиске стационарных точек h, поэтому вы можете записать действие как

$$S = \int \sqrt{h} h^{\alpha\beta} \gamma_{\alpha\beta}$$

Где$\gamma_{\alpha\beta} = \partial_\alpha X^\mu \partial_\beta X_\mu$является скалярным произведением$\alpha$координировать шаг с$\beta$координатный шаг, т.е. это индуцированная метрика. Индуцированная метрика играет роль исходного члена в интеграле h по путям (без учета интеграла по X). Условие стационарной точки находится путем варьирования h (используя важную формулу вариации определителя$\delta h = h h^{\alpha\beta} \delta h_{\alpha\beta}$которые вы изучаете на уроках математики как «расширение минорами» и «теорема об обратном миноре»):

$$\sqrt{h} \gamma_{\alpha\beta} + {1\over2\sqrt{h}} h h_{\alpha\beta} h^{\kappa\delta}\gamma_{\kappa\delta}$$

Если вы решите h, вы обнаружите, что

$$h_{\alpha\beta} = - {\gamma_{\alpha\beta}\over {1\over 2} h^{\kappa\delta}\gamma_{\kappa\delta}}$$

Это может выглядеть как неполное решение, но знаменатель справа является скаляром, так что это говорит о том, что тензоры h и$\gamma$пропорциональны

$$h_{\alpha\beta} = A(x) \gamma_{\alpha\beta}$$

Где константа пропорциональности A (x) не будет иметь никакого значения (любые два варианта A дадут решения, и они приведут к одному и тому же действию).

Подставьте экстремальное значение для h в действие и помните, как взять обратную матрицу:$h^{\alpha\beta} = {1\over A} \gamma^{\alpha\beta}$, и вы получите, что вклад действия для каждого внешнего источника$\gamma_{\alpha\beta}$пропорциональна$\sqrt{\gamma}$не важно что$A(x)$случается, что дает действие Намбу-Гото. Затем вы интегрируете действие Намбу-Гото по оставшимся интегральным по пути переменным, которые являются координатами встраивания.$X^\mu$.

Интеграл по траекториям Намбу-Гото трудно понять каким-либо иным способом, кроме его классического решения, определения гармонических осцилляторов и их квантования, предполагая, что они превращаются в стандартные гармонические осцилляторы. Это старый подход к теории струн. Действие Полякова просто используется для исправления калибровки для h, что превратит задачу в простую сигма-модель. Таким образом, эквивалентность между ними является скорее формальной вещью, которая связывает разложение гармонического осциллятора с вершинными операторами в формализме h. Это не обязательно равенство интеграла по путям, потому что интеграл по путям Намбу-Гото не является четко определенным, если не считать преобразования его в Полякова и фиксации калибровки для h.