Действительно ли это строгое определение интеграла по траекториям в квантовой механике?

Question

Действительно ли это строгое определение интеграла по траекториям в квантовой механике?

Золото

Пусть дана квантовая система с одной степенью свободы. Мы хотим определить интеграл по путям, чтобы получить представление для пропагатора как

⟨ д^{'} | е^{- я ЧАС Т} | д ⟩ "=" \int_{Икс (а) "=" д, Икс (б) "=" д^{'}} Д Икс (т) е^{я С [Икс (т)]} .

$\langle q' |e^{-iHT}|q\rangle=\int_{x(a)=q, x(b)=q'} \mathcal{D}x(t) e^{iS[x(t)]}.$

Теперь я хочу убедиться, что понимаю, как эта интеграция определяется более строго. Моя проблема в том, что большинство текстов, кажется, просто определяют этот конкретный интеграл выше (из $e^{iS[x(t)]}$ ), но для меня определение интеграла по траекториям означало бы определение того, что мы подразумеваем под интегрируемостью функционала, и определение того, как он будет интегрироваться, причем приведенное выше является лишь одним случаем.

Итак, я попытался извлечь фактическое определение из книги Пескина по QFT и хочу проверить, правильно ли я его понял.

Таким образом, мы хотим определить интеграл функционала $\mathfrak{F}[x(t)]$

\int Ф [Икс (т)] Д Икс (т) .

$\int \mathfrak{F}[x(t)] \mathcal{D}x(t).$

Прочитав несколько раз, что делает Пескин, я пришел к следующему:

Определение : Пусть $[a,b]\subset \mathbb{R}$ и пусть раздел $P$ из $[a,b]$ быть данным:
$а "=" т_{0} < т_{1} < \dots < т_{Н - 1} < т_{Н} "=" б .$ $a=t_0<t_1<\cdots<t_{N-1}<t_N=b.$ Позволять $x_0,\dots, x_{N}\in \mathbb{R}$ . Назовем кусочно-гладкий путь $x : [a,b]\to \mathbb{R}$ данный $Икс (т) "=" {Икс}_{к} + \frac{{Икс}_{к + 1} - {Икс}_{к}}{т_{к + 1} - т_{к}} (т - т_{к}), т е [т_{к}, т_{к + 1}], к е {0, \dots, Н}$ $x(t)=x_k+\frac{x_{k+1}-x_k}{t_{k+1}-t_k}(t-t_k),\quad t\in [t_{k},t_{k+1}],\quad k\in \{0,\dots, N\}$ линейная интерполяция точек $x_0,\dots, x_N$ .

Определение : Пусть $C_p^{\infty}([a,b];\mathbb{R})$ — пространство кусочно-гладких путей, определенных в $[a,b]$ . Пусть дальше $\mathfrak{F}: C_p^\infty([a,b];\mathbb{R})\to \mathbb{C}$ — заданный функционал, действующий на таких путях.

Пусть дальше $P$ быть частью $[a,b]$ в $N$ подынтервалы. Определим функционал $\mathfrak{F}_P : \mathbb{R}^{N+1}\to \mathbb{C}$ по отношению к этому разделу быть

$Ф_{п} ({Икс}_{0}, \dots, {Икс}_{Н}) "=" Ф [{Икс}_{п} (т)]$ $\mathfrak{F}_P(x_0,\dots,x_N)=\mathfrak{F}[x_P(t)]$

где $x_P(t)$ линейная интерполяция точек $x_0,\dots, x_N$ .

Определение : Пусть $C^\infty_p([a,b];\mathbb{R})$ — пространство кусочно-гладких путей, определенных в $[a,b]$ . Пусть функционал $\mathfrak{F}: C^\infty_p([a,b];\mathbb{R})\to \mathbb{C}$ быть данным.

Мы говорим, что $\mathfrak{F}$ является функционально интегрируемым , если предел:

$\underset{| п | \to 0}{лим} \int_{р^{Н + 1}} Ф_{п} ({Икс}_{0}, \dots, {Икс}_{Н}) г {Икс}_{0} \dots г {Икс}_{Н}$ $\lim_{|P|\to 0}\int_{\mathbb{R}^{N+1}} \mathfrak{F}_P(x_0,\dots, x_N) dx_0\cdots dx_{N}$

существует, где $|P|$ представляет собой сетку раздела, заданную выражением
$| п | "=" Макс {т_{к + 1} - т_{к} | к е {0, \dots, Н}} .$ $|P|=\max\{t_{k+1}-t_k | k\in \{0,\dots, N\}\}.$ В этом случае мы называем такой предел функциональным интегралом от $\mathfrak{F}$ и обозначим его через

$\int Д Икс (т) Ф [Икс (т)] .$ $\int \mathcal{D}x(t) \mathfrak{F}[x(t)].$

Так это математическая идея, стоящая за этим? В итоге для Физики нас бы заинтересовал случай $\mathfrak{F}[x(t)]=e^{iS[x(t)]}$ .

Поэтому в этом процессе я думаю, что решающим шагом является:

Процедура квантования времени вместе с построением линейной интерполяции позволяет превратить функционал $\mathfrak{F}$ в обычную функцию, которая, очевидно, зависит от конкретного временного интервала (разбиения).
Функцию можно интегрировать, чтобы получить результат, зависящий от раздела. Затем мы изучаем предел, когда сетка стремится к нулю.
Вещь с аналитическим продолжением, вращением Вика и евклидовым действием тогда появится только для конкретного функционала. $e^{iS[x(t)]}$ чтобы получить что-то функционально интегрируемое.

Я правильно понял? Действительно ли это математически точная версия того, что делается в большинстве текстов QM/QFT?

Если нет, то где я ошибся или что я пропустил?

Люк

Это основная идея, но в контексте КТП процедуры далеко не строгие. В большинстве взаимодействующих случаев нельзя показать, что пределы существуют.

Атом

Очень понравилось ваше ясное изложение этого редко встречающегося формализма! Только один вопрос: не должны ли мы использовать

\int_{R^{N - 1}} F_{P} (x_{1}, \dots, x_{N - 1}) d x_{1} \dots d x_{N - 1}

$\int_{\mathbb{R}^{N-1}} \mathfrak{F}_P(x_1,\dots, x_{N-1}) dx_1\cdots dx_{N-1}$ в вашем интеграле, так как это оценивается для фиксированных конечных точек

(t_{0}, x_{0})

$(t_0, x_0)$ и

(t_{N}, x_{N})

$(t_N, x_N)$ .

Ответы (2)

Действительно ли это строгое определение интеграла по траекториям в квантовой механике?

Это основная идея, но в контексте КТП процедуры далеко не строгие. В большинстве взаимодействующих случаев нельзя показать, что пределы существуют.
Очень понравилось ваше ясное изложение этого редко встречающегося формализма! Только один вопрос: не должны ли мы использовать $\int_{\mathbb{R}^{N-1}} \mathfrak{F}_P(x_1,\dots, x_{N-1}) dx_1\cdots dx_{N-1}$ в вашем интеграле, так как это оценивается для фиксированных конечных точек $(t_0, x_0)$ и $(t_N, x_N)$ .

юггиб · Answer 1

Математически строгое и удовлетворительное определение интеграла по путям связано в основном с решением двух задач:

Чтобы дать правильное определение меры на пространстве путей (нет меры Лебега, т. е. $\sigma$ - конечная, инвариантная к переносу мера - и поэтому должна использоваться другая мера);
Дать правильное определение колебательным интегралам (неоднозначно определяется интеграл колебательной фазы на множестве бесконечной меры).

В нерелятивистской квантовой механике можно совершенно строго определить интеграл по путям в мнимом времени , используя в основном стохастическое броуновское интегрирование (мера Винера на путях). Фактически, в мнимом времени колебательная фаза становится демпфирующим экспоненциальным фактором, что значительно упрощает определение интеграла, а часть экспоненты используется для определения меры Винера. Это очень полезно для изучения полугрупп типа $e^{-\tau (-\Delta +V)}$ , для подходящих потенциалов $V$ , в любое время $\tau\geq 0$ . При подходящих условиях это также может дать некоторую информацию об унитарной группе. $e^{-it (-\Delta +V)}$ (например, его можно использовать для доказательства самосопряженности $(-\Delta+V)$ , что гарантирует существование унитарной группы эволюции). Строгая формула интеграла по путям для операторов Шредингера носит название формулы Фейнмана-Каца . Его также можно распространить на некоторые простые теории квантового поля частиц, взаимодействующих с полем излучения (либо посредством минимальной связи, либо линейно).

В реальном времени были попытки определить интеграл по путям как колебательный интеграл на пространстве путей, используя идеи Хермандера. Это связано с Альбеверио, Хёг-Кроном, Маццукки и другими . Однако в этом случае возникают серьезные сложности, и дать связное и непротиворечивое определение можно только в очень немногих частных простых случаях (таких, как гармонический осциллятор и некоторые его возмущения).

Вторая процедура, возможно, более близка по своему духу к той, что изложена в OP, и она должным образом заботится о математических тонкостях, таких как независимость определения от выбранной аппроксимации интеграла. К сожалению, позвольте мне еще раз заметить, что это имеет смысл только для нескольких конкретных систем.

Хиральная аномалия · Answer 2

Действительно ли это математически точная версия того, что делается в большинстве текстов QM/QFT?

Описание в вопросе выглядит правильно. В QM основная идея состоит в том, чтобы сначала дискретизировать время, чтобы сделать число переменных интегрирования конечным (так что подынтегральная функция сводится к обычной функции многих переменных вместо функционала), затем вычислить этот обычный интеграл с несколькими переменными, а затем взять предел результата по мере того, как размер временного шага становится равным нулю - как предлагается в вопросе.

Та же идея используется для определения интеграла «пути» в квантовой теории поля. В этом случае и время, и пространство дискретизируются, потому что «переменные» интегрирования являются функциями как времени, так и пространства. Другими словами, непрерывное пространство-время заменяется дискретной (и конечной) решеткой для определения континуальных интегралов в КТП. Но в большинстве случаев с одним или несколькими измерениями пространства, такими как КЭД и КХД, мы на самом деле не знаем (строго), существует ли нетривиальный континуальный предел. Это может не существовать в КЭД, но, по-видимому, существует в КХД, и есть Премия тысячелетия, ожидающая первого человека, который докажет это.

Важным предостережением является то, что в КТП, когда размер шага решетки варьируется, различные параметры действия (параметры массы и коэффициенты связи) также должны варьироваться правильным образом, чтобы сохранить фиксированными предсказания модели с низким разрешением. «Низкое разрешение» здесь относится к масштабам, намного более грубым, чем размер шага. Даже если континуальный предел действительно существует, для того, чтобы этот предел был нетривиальным (в том смысле, что он сохраняет ненулевые взаимодействия между различными полями), массовые параметры и коэффициенты связи должны рассматриваться как соответствующие функции ступенчатой зависимости. размер при принятии предела континуума. Это основа современного понимания перенормировки . О перенормировке в КМ см. «Перенормировка в квантовой механике» (https://arxiv.org/abs/hep-th/9305052 ).

Для неабелевых киральных калибровочных теорий (таких как Стандартная модель), когда я проверял в прошлый раз, мы до сих пор не знаем, как определить континуальный интеграл вообще , даже в дискретном пространстве-времени.

Но по крайней мере для случая QM, как показано в вопросе, это работает.

Действительно ли это строгое определение интеграла по траекториям в квантовой механике?

Золото

Люк

Атом

Ответы (2)

юггиб

Хиральная аномалия

Включает ли интеграл Фейнмана разрывные траектории?

Аномалия в квантовой механике в формулировке интеграла по путям

SUSY QM и теорема Атьи-Зингера об индексе

Вычисление суммы сферических гармоник в пропагаторе частицы на сфере

Интуиция для интегралов пути и как их оценить

Формулировка интеграла по путям в квантовой механике

Интеграл по путям в QM против QFT

Интуитивное представление о конструкции ГНС и ее связи с обычной квантовой механикой

Мера интеграла Фейнмана по траекториям

Диагонализация/собственные значения бесконечномерной матрицы N гармонических осцилляторов на кольце